Mostre que o polinômio
em
tem inverso multiplicativo. Em
existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo?
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e pede: mostrar que ele tem inverso multiplicativo em
. Pergunta adicional: em
existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo?
Informações relevantes que temos do enunciado e do anel envolvido:
Informações relevantes que temos do enunciado e do anel envolvido:
- Trabalhamos em
, ou seja, coeficientes tomados módulo . - Em
os coeficientes são inteiros (anel ). - Precisamos encontrar um polinômio
tal que em (produto congruente a módulo ). - Para a segunda parte, precisamos decidir se existe algum polinômio não constante
que tenha algum com .
Passo 2
O que significa “ser inverso multiplicativo” num anel de polinômios?
Significa encontrar um polinômio tal que
Significa encontrar um polinômio
no anel considerado (a igualdade é tomada com aritmética em
quando estamos em
). Vou procurar explicitamente tal
. Antes, uma observação útil sobre aritmética em
: o elemento
satisfaz
ou seja,
é nilpotente de índice
(na prática,
em
). Isso será importante porque quando multiplicamos por potências de
algumas potências desaparecem módulo
.
Passo 3
Reescrevo o polinômio como
. Uma técnica natural é tentar uma série geométrica formal:
Mas em
muitas potências de
desaparecem porque
. De fato, calculemos
:
portanto
é o polinômio zero em
. Assim toda potência de grau maior ou igual a
de
é zero:
para todo
. Isso faz com que a “série” acima seja truncada imediatamente; sob essas condições a soma séria só precisa dos dois primeiros termos:
porque todos os termos seguintes são zero.
Passo 4
Verificação direta: multiplico
por
em
:
Já vimos que
. Então
em
. Portanto
é o inverso multiplicativo de
(ou seja, de
) em
.
Passo 5
Vou dar uma explicação conceptual curta que ajuda em provas futuras: existe um lema útil em anéis com elementos nilpotentes. Se
é uma unidade (inversível) em um anel e
é nilpotente (ou seja,
para algum
), então
também é uma unidade, e seu inverso pode ser obtido por uma soma finita tipo série geométrica truncada. No nosso caso
e
com
, daí o inverso é
. Isso explica por que polinômios do tipo unidade mais termos com coeficientes nilpotentes podem ser unidades no anel de polinômios sobre um anel que não é domínio integral.
Passo 6
Agora respondo a segunda pergunta: “Em
existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo?”
A resposta é não. Vou demonstrar de forma elementar usando graus de polinômios.
A resposta é não. Vou demonstrar de forma elementar usando graus de polinômios.
Sejam
com
. Seja
e
. Em um anel de coeficientes que é um domínio integral (e
é um domínio integral), vale a propriedade
Como
tem grau
, temos
Como
e
são inteiros não negativos, isso implica
e
. Ou seja,
e
são constantes. Logo não existe polinômio não constante invertível em
. Em particular, as únicas unidades em
são as constantes que são unidades em
, ou seja,
e
.
Resposta
O inverso de
em
é
.
Em não existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo (as únicas unidades são
e
).
Em