Mostre que o polinômio 2 x+1 em \mathbb{Z}_{4}[x] tem inverso multiplicativo. Em \mathbb{Z}[x] existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo?

Passo 1

O enunciado dá o polinômio \,2x+1\in\mathbb{Z}_4[x] e pede: mostrar que ele tem inverso multiplicativo em \mathbb{Z}_4[x]. Pergunta adicional: em \mathbb{Z}[x] existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo?
Informações relevantes que temos do enunciado e do anel envolvido:
  • Trabalhamos em \mathbb{Z}_4[x], ou seja, coeficientes tomados módulo 4.
  • Em \mathbb{Z}[x] os coeficientes são inteiros (anel \mathbb{Z}).
  • Precisamos encontrar um polinômio b(x) tal que (2x+1)\,b(x)=1 em \mathbb{Z}_4[x] (produto congruente a 1 módulo 4).
  • Para a segunda parte, precisamos decidir se existe algum polinômio não constante f(x)\in\mathbb{Z}[x] que tenha algum g(x)\in\mathbb{Z}[x] com f(x)g(x)=1.

Passo 2

O que significa “ser inverso multiplicativo” num anel de polinômios?
Significa encontrar um polinômio b(x) tal que
(2x+1)\,b(x)=1
no anel considerado (a igualdade é tomada com aritmética em \mathbb{Z}_4 quando estamos em \mathbb{Z}_4[x]). Vou procurar explicitamente tal b(x). Antes, uma observação útil sobre aritmética em \mathbb{Z}_4: o elemento 2\in\mathbb{Z}_4 satisfaz
2^2 = 4 \equiv 0 \pmod{4},
ou seja, 2 é nilpotente de índice 2 (na prática, 2\cdot 2 =0 em \mathbb{Z}_4). Isso será importante porque quando multiplicamos por potências de 2x algumas potências desaparecem módulo 4.

Passo 3

Reescrevo o polinômio como \,1+2x. Uma técnica natural é tentar uma série geométrica formal:
(1+2x)^{-1} = 1 - 2x + (2x)^2 - (2x)^3 + \cdots
Mas em \mathbb{Z}_4[x] muitas potências de 2x desaparecem porque 2^2\equiv0. De fato, calculemos (2x)^2:
(2x)^2 = 4x^2 \equiv 0\pmod{4},
portanto (2x)^2 é o polinômio zero em \mathbb{Z}_4[x]. Assim toda potência de grau maior ou igual a 2 de 2x é zero: (2x)^k=0 para todo k\ge2. Isso faz com que a “série” acima seja truncada imediatamente; sob essas condições a soma séria só precisa dos dois primeiros termos:
(1+2x)^{-1} = 1 - 2x,
porque todos os termos seguintes são zero.

Passo 4

Verificação direta: multiplico \,1+2x por \,1-2x em \mathbb{Z}_4[x]:
(1+2x)(1-2x) = 1 - (2x)^2.
Já vimos que (2x)^2 = 4x^2 \equiv 0\pmod{4}. Então
(1+2x)(1-2x) = 1 - 0 = 1
em \mathbb{Z}_4[x]. Portanto \,1-2x é o inverso multiplicativo de \,1+2x (ou seja, de \,2x+1) em \mathbb{Z}_4[x].

Passo 5

Vou dar uma explicação conceptual curta que ajuda em provas futuras: existe um lema útil em anéis com elementos nilpotentes. Se u é uma unidade (inversível) em um anel e a é nilpotente (ou seja, a^n=0 para algum n), então u+a também é uma unidade, e seu inverso pode ser obtido por uma soma finita tipo série geométrica truncada. No nosso caso u=1 e a=2x com a^2=0, daí o inverso é 1-a=1-2x. Isso explica por que polinômios do tipo unidade mais termos com coeficientes nilpotentes podem ser unidades no anel de polinômios sobre um anel que não é domínio integral.

Passo 6

Agora respondo a segunda pergunta: “Em \mathbb{Z}[x] existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo?”
A resposta é não. Vou demonstrar de forma elementar usando graus de polinômios.
Sejam f(x),g(x)\in\mathbb{Z}[x] com f(x)g(x)=1. Seja \deg f = m e \deg g = n. Em um anel de coeficientes que é um domínio integral (e \mathbb{Z} é um domínio integral), vale a propriedade
\deg(fg) = \deg f + \deg g.
Como fg=1 tem grau 0, temos
0 = \deg(fg) = m+n.
Como m e n são inteiros não negativos, isso implica m=0 e n=0. Ou seja, f e g são constantes. Logo não existe polinômio não constante invertível em \mathbb{Z}[x]. Em particular, as únicas unidades em \mathbb{Z}[x] são as constantes que são unidades em \mathbb{Z}, ou seja, 1 e -1.

Resposta

O inverso de 2x+1 em \mathbb{Z}_4[x] é 1-2x.
Em \mathbb{Z}[x] não existem polinômios não constantes com inverso multiplicativo (as únicas unidades são 1 e -1).

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