Sejam
e
em
. Determine o quociente e o resto da divisão de
por
.
Passo 1
O enunciado dá as polinômios
e
em
e pede o quociente e o resto da divisão de
por
. Informações importantes que temos aqui:
- Coeficientes vivem em
, ou seja, todas as operações são feitas módulo . -
tem grau , então o resto da divisão terá grau menor que ; isto é, o resto será um polinômio constante em .
A partir disso queremos encontrar polinômioe constante tais que
com
.
Passo 2
Antes de começar a dividir, vamos lembrar coisas simples sobre
que usaremos:
- Os elementos são
e somas/produtos são tomados módulo . - Em
todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Precisamos do inverso de porque o termo líder de é . Verificamos o inverso:
logo o inverso de
em
é
.
- A divisão de polinômios em
segue o algoritmo da divisão usual: a cada passo dividimos o termo líder do polinômio corrente pelo termo líder do divisor (usando inverso do coeficiente líder do divisor), multiplicamos o divisor por esse termo e subtraímos. Todas as subtrações e multiplicações são em .
Passo 3
Começamos a divisão longa. Escrevo
com termo de
explícito (coeficiente
):
Dividimos o termo líder
por
. O coeficiente resultante é
vezes o inverso de
, isto é
, e o expoente fica
. Portanto o primeiro termo do quociente é
.
Multiplicamos por
:
Multiplicamos
Em
temos
, então isso é
. Subtraindo de
(tudo em
):
Em
,
, então o resto após esse passo é
Passo 4
Agora dividimos o termo líder do resto
por
. O coeficiente é novamente
vezes o inverso de
, com expoente
, portanto o próximo termo do quociente é
.
Multiplicamos por
:
Multiplicamos
Em
isso é
. Subtraindo do resto atual:
Em
,
. Então o novo resto é
Passo 5
Dividimos agora o termo líder
do resto por
do divisor. O quociente para esse passo é
(pois
em
). Multiplicando:
Subtraindo do resto
obtemos
Portanto o resto final é a constante
. Como
, a divisão termina aqui.
Passo 6
Juntando os termos do quociente obtidos em cada passo, temos
E o resto é
. Para garantir que não houve erro, vamos verificar rapidamente que
em
.
Passo 7
Calculemos
:
Multiplicando termo a termo (e reduzindo módulo
):
Somando os termos semelhantes:
- termo
: , - termo
: , - termo
: , - constante:
.
Logo. Somando o resto obtemos
que é exatamente
. Verificação OK.