Sejam f(x)=x^{3}+2 x+4 e g(x)=3 x+2 em \mathbb{Z}_{5}[x]. Determine o quociente e o resto da divisão de f(x) por g(x).

Passo 1

O enunciado dá as polinômios f(x)=x^{3}+2x+4 e g(x)=3x+2 em \mathbb{Z}_{5}[x] e pede o quociente e o resto da divisão de f por g. Informações importantes que temos aqui:
  • Coeficientes vivem em \mathbb{Z}_{5}, ou seja, todas as operações são feitas módulo 5.
  • g(x) tem grau 1, então o resto da divisão terá grau menor que 1; isto é, o resto será um polinômio constante em \mathbb{Z}_{5}.
    A partir disso queremos encontrar polinômio q(x) e constante r\in\mathbb{Z}_{5} tais que
f(x)=g(x)\,q(x)+r
com \deg r<1.

Passo 2

Antes de começar a dividir, vamos lembrar coisas simples sobre \mathbb{Z}_{5} que usaremos:
  • Os elementos são \{0,1,2,3,4\} e somas/produtos são tomados módulo 5.
  • Em \mathbb{Z}_{5} todo elemento não nulo tem inverso multiplicativo. Precisamos do inverso de 3 porque o termo líder de g é 3x. Verificamos o inverso:
3\cdot 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5},
logo o inverso de 3 em \mathbb{Z}_{5} é 2.
  • A divisão de polinômios em \mathbb{Z}_{5}[x] segue o algoritmo da divisão usual: a cada passo dividimos o termo líder do polinômio corrente pelo termo líder do divisor (usando inverso do coeficiente líder do divisor), multiplicamos o divisor por esse termo e subtraímos. Todas as subtrações e multiplicações são em \mathbb{Z}_{5}.

Passo 3

Começamos a divisão longa. Escrevo f com termo de x^2 explícito (coeficiente 0):
f(x)=x^3+0x^2+2x+4.
Dividimos o termo líder x^3 por 3x. O coeficiente resultante é 1 vezes o inverso de 3, isto é 2, e o expoente fica 3-1=2. Portanto o primeiro termo do quociente é 2x^2.
Multiplicamos 2x^2 por g(x):
2x^2\cdot(3x+2)=6x^3+4x^2.
Em \mathbb{Z}_{5} temos 6\equiv1, então isso é x^3+4x^2. Subtraindo de f (tudo em \mathbb{Z}_{5}):
(x^3+0x^2+2x+4) - (x^3+4x^2) = (0-4)x^2 +2x+4.
Em \mathbb{Z}_{5}, -4\equiv 1, então o resto após esse passo é
x^2+2x+4.

Passo 4

Agora dividimos o termo líder do resto x^2 por 3x. O coeficiente é novamente 1 vezes o inverso de 3, com expoente 2-1=1, portanto o próximo termo do quociente é 2x.
Multiplicamos 2x por g(x):
2x\cdot(3x+2)=6x^2+4x.
Em \mathbb{Z}_{5} isso é x^2+4x. Subtraindo do resto atual:
(x^2+2x+4)-(x^2+4x)=(2-4)x+4.
Em \mathbb{Z}_{5}, 2-4\equiv -2\equiv 3. Então o novo resto é
3x+4.

Passo 5

Dividimos agora o termo líder 3x do resto por 3x do divisor. O quociente para esse passo é 1 (pois 3x/(3x)=1 em \mathbb{Z}_{5}). Multiplicando:
1\cdot(3x+2)=3x+2.
Subtraindo do resto 3x+4 obtemos
(3x+4)-(3x+2)=4-2=2.
Portanto o resto final é a constante 2. Como \deg(2)=0<1, a divisão termina aqui.

Passo 6

Juntando os termos do quociente obtidos em cada passo, temos
q(x)=2x^2+2x+1.
E o resto é r=2. Para garantir que não houve erro, vamos verificar rapidamente que g(x)q(x)+r=f(x) em \mathbb{Z}_{5}.

Passo 7

Calculemos g(x)q(x):
(3x+2)(2x^2+2x+1).
Multiplicando termo a termo (e reduzindo módulo 5):
3x\cdot 2x^2 = 6x^3 \equiv x^3,
3x\cdot 2x = 6x^2 \equiv x^2,
3x\cdot 1 = 3x,
2\cdot 2x^2 = 4x^2,
2\cdot 2x = 4x,
2\cdot 1 = 2.
Somando os termos semelhantes:
  • termo x^3: x^3,
  • termo x^2: x^2+4x^2=5x^2\equiv 0x^2,
  • termo x: 3x+4x=7x\equiv 2x,
  • constante: 2.
    Logo g(x)q(x)=x^3+0x^2+2x+2. Somando o resto r=2 obtemos
g(x)q(x)+r = x^3+0x^2+2x+(2+2) = x^3+2x+4,
que é exatamente f(x). Verificação OK.

Resposta

q(x)=2x^{2}+2x+1
r=2

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