Mostre que
é inversível se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre a equivalência entre duas afirmações sobre um polinômio
pertencente ao anel
:
-
é inversível (isto é, existe um polinômio tal que ); -
é um polinômio constante não nulo, isto é, com (onde é o conjunto dos reais não nulos).
Informações dadas: trabalhamos no anel de polinômios com coeficientes reais
e sabemos o que significa
ser inversível no anel (ter um inverso multiplicativo em
). A meta é provar a bicondicional:
é inversível se e somente se
é constante e não nula.
Passo 2
Definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
- Um elemento
de um anel é inversível (ou unidade) se existe no mesmo anel com . No nosso caso, e devem estar em . - O grau de um polinômio não nulo
é , o maior expoente de que aparece com coeficiente não nulo. Por convenção, (ou indefinido), mas não precisaremos desse caso porque inverso não pode ser zero. - Propriedade crucial: se
e são polinômios não nulos, então
Isso vem do fato de que o termo de maior grau em
multiplicado pelo termo de maior grau em
produz o termo de maior grau em
, e o coeficiente desse termo é o produto dos coeficientes principais, que não é zero.
Passo 3
Prova da implicação direta (se): suponha que
com
(ou seja,
é um real não nulo). Quero mostrar que
é inversível em
.
- Considere o polinômio constante
. Como é um número real (porque ), temos . - Multiplicando, obtemos
Portanto
é o inverso multiplicativo de
em
. Conclusão: todo polinômio constante não nulo é inversível.
Passo 4
Agora a implicação recíproca (somente se): suponha que
é inversível. Ou seja, existe
tal que
Quero mostrar que
deve ser um polinômio constante não nulo.
Passo 5
Argumento por grau (passo-chave): como
e
são polinômios não nulos (se um deles fosse o polinômio zero, o produto seria zero, não 1), podemos aplicar a propriedade de graus. Pela propriedade,
Mas o lado esquerdo é
, porque
. O polinômio constante
tem grau
. Então
Passo 6
Da igualdade de graus
e do fato de que graus são números inteiros
para polinômios não nulos, segue que necessariamente
e
. Ou seja, ambos são polinômios constantes. Em particular,
para algum
.
Passo 7
O fato de
ter inverso garante que
não pode ser zero: se
então
seria o polinômio zero, que não tem inverso já que
para todo
. Como existe
com
, sendo
constante também, digamos
, temos
, logo
e
. Portanto
.
Passo 8
Juntando as duas direções:
- Se
com então é inversível (inverso ). - Se
é inversível então mostramos que , logo com .
Assim provamos a equivalência pedida.