Mostre que f(x) \in \mathbb{R}[x] é inversível se e somente se f(x)=a \in \mathbb{R}^{*}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre a equivalência entre duas afirmações sobre um polinômio f(x) pertencente ao anel \mathbb{R}[x]:
  1. f(x) é inversível (isto é, existe um polinômio g(x)\in\mathbb{R}[x] tal que f(x)\,g(x)=1);
  2. f(x) é um polinômio constante não nulo, isto é, f(x)=a com a\in\mathbb{R}^{*} (onde \mathbb{R}^{*} é o conjunto dos reais não nulos).
Informações dadas: trabalhamos no anel de polinômios com coeficientes reais \mathbb{R}[x] e sabemos o que significa f(x) ser inversível no anel (ter um inverso multiplicativo em \mathbb{R}[x]). A meta é provar a bicondicional: f é inversível se e somente se f é constante e não nula.

Passo 2

Definições e propriedades que vamos usar (explicadas com calma):
  • Um elemento u de um anel é inversível (ou unidade) se existe v no mesmo anel com u v = 1. No nosso caso, u=f(x) e v=g(x) devem estar em \mathbb{R}[x].
  • O grau de um polinômio não nulo p(x) é \deg(p), o maior expoente de x que aparece com coeficiente não nulo. Por convenção, \deg(0) = -\infty (ou indefinido), mas não precisaremos desse caso porque inverso não pode ser zero.
  • Propriedade crucial: se p(x) e q(x) são polinômios não nulos, então
\deg\big(p(x)\,q(x)\big)=\deg\big(p(x)\big)+\deg\big(q(x)\big).
Isso vem do fato de que o termo de maior grau em p multiplicado pelo termo de maior grau em q produz o termo de maior grau em pq, e o coeficiente desse termo é o produto dos coeficientes principais, que não é zero.

Passo 3

Prova da implicação direta (se): suponha que f(x)=a com a\in\mathbb{R}^{*} (ou seja, a é um real não nulo). Quero mostrar que f é inversível em \mathbb{R}[x].
  • Considere o polinômio constante g(x)=\dfrac{1}{a}. Como \dfrac{1}{a} é um número real (porque a\neq0), temos g(x)\in\mathbb{R}[x].
  • Multiplicando, obtemos
f(x)\,g(x)=a\cdot\frac{1}{a}=1.
Portanto g(x) é o inverso multiplicativo de f(x) em \mathbb{R}[x]. Conclusão: todo polinômio constante não nulo é inversível.

Passo 4

Agora a implicação recíproca (somente se): suponha que f(x)\in\mathbb{R}[x] é inversível. Ou seja, existe g(x)\in\mathbb{R}[x] tal que
f(x)\,g(x)=1.
Quero mostrar que f deve ser um polinômio constante não nulo.

Passo 5

Argumento por grau (passo-chave): como f e g são polinômios não nulos (se um deles fosse o polinômio zero, o produto seria zero, não 1), podemos aplicar a propriedade de graus. Pela propriedade,
\deg\big(f(x)\,g(x)\big)=\deg\big(f(x)\big)+\deg\big(g(x)\big).
Mas o lado esquerdo é \deg(1), porque f(x)g(x)=1. O polinômio constante 1 tem grau 0. Então
0=\deg(1)=\deg\big(f(x)\big)+\deg\big(g(x)\big).

Passo 6

Da igualdade de graus 0=\deg(f)+\deg(g) e do fato de que graus são números inteiros \ge0 para polinômios não nulos, segue que necessariamente \deg(f)=0 e \deg(g)=0. Ou seja, ambos são polinômios constantes. Em particular, f(x)=a para algum a\in\mathbb{R}.

Passo 7

O fato de f ter inverso garante que a não pode ser zero: se a=0 então f seria o polinômio zero, que não tem inverso já que 0\cdot p(x)=0\neq1 para todo p(x). Como existe g com a\cdot g(x)=1, sendo g constante também, digamos g(x)=b, temos a b = 1, logo a\neq0 e b=\dfrac{1}{a}. Portanto a\in\mathbb{R}^{*}.

Passo 8

Juntando as duas direções:
  • Se f(x)=a com a\in\mathbb{R}^{*} então f é inversível (inverso 1/a).
  • Se f é inversível então mostramos que \deg(f)=0, logo f(x)=a com a\in\mathbb{R}^{*}.
Assim provamos a equivalência pedida.

Resposta

f(x)=a, com a\in\mathbb{R}^{*}.

Exercícios relacionados