Sejam
um corpo e
. Se gr
, então o número de raízes de
é
.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede o que virá a seguir.
- Dado um corpo
. - Dado um polinômio
com (ou seja, o grau de é ,). - O que precisamos provar: o número de raízes de
em é menor ou igual a .
Observação importante: neste enunciado vou entender por “número de raízes” o número de raízes distintas de
que pertencem a
. (Se for necessário falar de multiplicidade eu comento no final.)
Passo 2
Definições e fatos básicos que vamos usar (vou explicar devagar, como num amigo que repete as coisas com calma).
- Raiz (ou zero) de um polinômio: um elemento
é raiz de se . - Grau de um polinômio:
é o maior expoente de com coeficiente não nulo em . - Alguma propriedade do anel
que usamos: existe o algoritmo da divisão polinomial em . Em particular, para dividir qualquer polinômio por um polinômio de grau (como ) existe um quociente e um resto (constante) tais que
A razão prática: se você avalia em
obtém
. Logo,
se e somente se
, o que significa que
divide
.
Vou provar esse último fato rapidinho porque é essencial e simples: escreva a divisão acima e substitua
; fica
. Assim
. Portanto
implica
, e então
divide
.
Passo 3
Estratégia do argumento principal — indução no grau.
Vou provar a afirmação por indução sobre
.
- Casos pequenos? Começamos pelo caso base
(grau zero).
Passo 4
Caso base
.
Se
então
é um polinômio constante não nulo, ou seja
com
e
. Então para todo
temos
, ou seja,
não tem raízes em
. Logo o número de raízes é
, e isto é
. O caso base está OK.
Passo 5
Hipótese de indução.
Suponha que a afirmação seja verdadeira para todos os polinômios de grau
: isto é, qualquer polinômio em
de grau
tem no máximo
raízes em
.
Agora considere
com
, onde
. Vou mostrar que
tem no máximo
raízes.
Passo 6
Se
não tem raízes em
já terminamos.
Se
para todo
, então o número de raízes é
e não há mais o que provar. Então a única dificuldade é quando
tem pelo menos uma raiz.
Passo 7
Se
tem uma raiz
então
divide
.
Pelo fato que lembramos no Passo 2, se
então existem
e
com
e avaliando em
vemos
. Assim podemos escrever
com
e
(porque
e
).
Passo 8
Relação entre raízes de
e de
.
Qualquer raiz
de
satisfaz
No corpo
não existem divisores de zero, então se
temos
e assim
. Portanto:
- A raiz
é uma das raízes de . - Todas as outras raízes distintas de
(ou seja, todas as raízes diferentes de ) são raízes de .
Logo o conjunto de raízes distintas de
é
unido ao conjunto de raízes de
que são distintas de
. Em particular, o número de raízes distintas de
é igual a
mais o número de raízes distintas de
que não sejam
. Mas como
tem grau
, pelo princípio da indução
tem no máximo
raízes em
.
Passo 9
Conclusão do passo indutivo.
Pelo argumento anterior, o número de raízes distintas de
é menor ou igual a
Isso completa a prova por indução: para todo
, todo polinômio
com
tem no máximo
raízes em
.
Passo 10
Comentário final e observação sobre multiplicidade (curtinha e prática).
- Se quisermos falar de multiplicidade de raízes: se
é uma raiz de multiplicidade significa que divide mas não. Repetindo o argumento de fatoração para cada raiz (ou aplicando fatoração em fatores lineares quando possível), a soma das multiplicidades das raízes (em ) também é . Esse é o mesmo espírito do que fizemos: cada fator linear “consome” um grau.
Força aí — a ideia central é simples e muito útil: cada raiz diferente “consome” pelo menos um grau, e o grau total é
, logo não dá para ter mais de
raízes distintas.
Resposta
O número de raízes de
em
é
.