Sejam K um corpo e f(x) \in K[x]. Se gr f=n, então o número de raízes de f é \leq n.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede o que virá a seguir.
  • Dado um corpo K.
  • Dado um polinômio f(x)\in K[x] com \deg f = n (ou seja, o grau de f é \,n,).
  • O que precisamos provar: o número de raízes de f em K é menor ou igual a \,n.
Observação importante: neste enunciado vou entender por “número de raízes” o número de raízes distintas de f que pertencem a K. (Se for necessário falar de multiplicidade eu comento no final.)

Passo 2

Definições e fatos básicos que vamos usar (vou explicar devagar, como num amigo que repete as coisas com calma).
  • Raiz (ou zero) de um polinômio: um elemento a\in K é raiz de f se f(a)=0.
  • Grau de um polinômio: \deg f é o maior expoente de x com coeficiente não nulo em f.
  • Alguma propriedade do anel K[x] que usamos: existe o algoritmo da divisão polinomial em K[x]. Em particular, para dividir qualquer polinômio f(x) por um polinômio de grau 1 (como x-a) existe um quociente q(x)\in K[x] e um resto r\in K (constante) tais que
f(x)=(x-a)q(x)+r.
A razão prática: se você avalia em x=a obtém f(a)=r. Logo, f(a)=0 se e somente se r=0, o que significa que (x-a) divide f(x).
Vou provar esse último fato rapidinho porque é essencial e simples: escreva a divisão acima e substitua x=a; fica f(a)=(a-a)q(a)+r=r. Assim r=f(a). Portanto f(a)=0 implica r=0, e então x-a divide f.

Passo 3

Estratégia do argumento principal — indução no grau.
Vou provar a afirmação por indução sobre \,n=\deg f.
  • Casos pequenos? Começamos pelo caso base \,n=0 (grau zero).

Passo 4

Caso base \,n=0.
Se \deg f=0 então f é um polinômio constante não nulo, ou seja f(x)=c com c\in K e c\neq 0. Então para todo a\in K temos f(a)=c\neq 0, ou seja, f não tem raízes em K. Logo o número de raízes é 0, e isto é \le 0. O caso base está OK.

Passo 5

Hipótese de indução.
Suponha que a afirmação seja verdadeira para todos os polinômios de grau \le n-1: isto é, qualquer polinômio em K[x] de grau \le n-1 tem no máximo n-1 raízes em K.
Agora considere f\in K[x] com \deg f = n, onde n\ge 1. Vou mostrar que f tem no máximo n raízes.

Passo 6

Se f não tem raízes em K já terminamos.
Se f(a)\neq 0 para todo a\in K, então o número de raízes é 0\le n e não há mais o que provar. Então a única dificuldade é quando f tem pelo menos uma raiz.

Passo 7

Se f tem uma raiz a\in K então (x-a) divide f.
Pelo fato que lembramos no Passo 2, se f(a)=0 então existem q(x)\in K[x] e r\in K com
f(x)=(x-a)q(x)+r,
e avaliando em x=a vemos r=f(a)=0. Assim podemos escrever
f(x)=(x-a)g(x)
com g(x)\in K[x] e \deg g = n-1 (porque \deg(x-a)=1 e \deg f = n).

Passo 8

Relação entre raízes de f e de g.
Qualquer raiz b\in K de f satisfaz
0=f(b)=(b-a)g(b).
No corpo K não existem divisores de zero, então se b\neq a temos b-a\neq 0 e assim g(b)=0. Portanto:
  • A raiz a é uma das raízes de f.
  • Todas as outras raízes distintas de f (ou seja, todas as raízes diferentes de a) são raízes de g.
Logo o conjunto de raízes distintas de f é \{a\} unido ao conjunto de raízes de g que são distintas de a. Em particular, o número de raízes distintas de f é igual a 1 mais o número de raízes distintas de g que não sejam a. Mas como g tem grau \,n-1, pelo princípio da indução g tem no máximo n-1 raízes em K.

Passo 9

Conclusão do passo indutivo.
Pelo argumento anterior, o número de raízes distintas de f é menor ou igual a
1 + (n-1) = n.
Isso completa a prova por indução: para todo n\ge 0, todo polinômio f\in K[x] com \deg f=n tem no máximo n raízes em K.

Passo 10

Comentário final e observação sobre multiplicidade (curtinha e prática).
  • Se quisermos falar de multiplicidade de raízes: se a é uma raiz de multiplicidade m significa que (x-a)^m divide f mas (x-a)^{m+1} não. Repetindo o argumento de fatoração para cada raiz (ou aplicando fatoração em fatores lineares quando possível), a soma das multiplicidades das raízes (em K) também é \le \deg f = n. Esse é o mesmo espírito do que fizemos: cada fator linear (x-a) “consome” um grau.
Força aí — a ideia central é simples e muito útil: cada raiz diferente “consome” pelo menos um grau, e o grau total é n, logo não dá para ter mais de n raízes distintas.

Resposta

O número de raízes de f em K é \le n.

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