Mostre que a energia de um íon
em unidades atômicas é
.
Passo 1
Beleza, a questão quer que a gente mostre que a energia do íon He⁺ (que é só um átomo de hélio com 1 elétron) em unidades atômicas vale 2 Eₕ. Isso cai em Mecânica Quântica de átomos hidrogenoides (átomos com só um elétron), e a gente vai usar a fórmula padrão da energia desses sistemas em unidades atômicas (Hartree). Precisamos lembrar da expressão geral para a energia de um átomo hidrogenoide e depois pôr Z=2.
Passo 2
Teoria que a gente usa: para um átomo hidrogenoide (ou seja, núcleo com carga +Z e um elétron), a energia dos níveis ligados vem da solução da equação de Schrödinger e em unidades atômicas (ħ=1, mₑ=1, e²/(4πε₀)=1) fica
onde
-
é a carga nuclear (número atômico), -
é o número quântico principal (n=1,2,3…), -
é a energia de Hartree (unidade atômica de energia).
Passo 3
No nosso caso, o He⁺ tem Z=2 e o elétron está no estado fundamental, ou seja
. Substituindo na fórmula:
O sinal negativo só indica que é um estado ligado (energia abaixo de zero). Se o enunciado pede “a energia é 2 Eₕ”, normalmente assumem o valor absoluto.
Passo 4
Então a gente conclui que, em unidades atômicas, o valor absoluto da energia do He⁺ no nível fundamental é exatamente 2 Eₕ.
Resposta
Em unidades atômicas, a energia do íon He⁺ no estado fundamental é
.