Mostre que o ponto (2,3 pi / 4) encontra-se na curva r=2 sen(2 theta).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o ponto, dado em coordenadas polares por
(r,theta) = l(2,tfrac3pi4r)
satisfaz a equação da curva
r = 2sen(2theta)
O conteúdo que vamos usar é simplesmente a definição de curva em coordenadas polares: um ponto (r,theta) pertence à curva quando, ao substituir r e theta na equação polar, a igualdade é verdadeira.

Passo 2

Substituímos r=2 e theta=tfrac3pi4 no lado direito da equação r=2sen(2theta). Calculamos primeiro
2theta = 2cdot3pi4 = 3pi2,
de modo que
2sen(2theta) = 2sen!l(tfrac3pi2r) = 2cdot(-1) = -2

Passo 3

No lado esquerdo da equação temos r=2, mas o lado direito ficou -2. Ou seja,
2 ;neq; -2,
logo a igualdade 2 = 2sen(2cdottfrac3pi4) não se verifica.

Resposta

O ponto l(2,tfrac3pi4r) não pertence à curva r=2sen(2theta), pois ao substituir theta=tfrac3pi4 na equação obtém-se r=-2neq2.

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