Por fim, resolva as seguintes integrais pela técnica de frações parciais.
integral 1x^2-a^2 d x, a neq 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral 1x^2-a^2,dx, aneq 0
usando a técnica de frações parciais. Vamos precisar reconhecer que x^2-a^2 é uma diferença de quadrados e decompor em termos de tfrac1x-a e tfrac1x+a.

Passo 2

Fatoramos o denominador e propomos
1x^2-a^2 =1(x-a)(x+a) =Ax-a+Bx+a
Multiplicando por (x-a)(x+a) obtemos
1 = A(x+a)+B(x-a)
Para x=a vem 1=A(2a), logo
A=12a
Para x=-a vem 1=B(-2a), logo
B=-12a

Passo 3

Substituindo na integral:
integral 1x^2-a^2,dx =integral l(12a,1x-a-12a,1x+ar),dx =12aintegraldxx-a -12aintegraldxx+a
Cada uma é uma integral tipo integraldxxpm a=lnl|xpm ar|. Então
integral 1x^2-a^2,dx =12alnl|x-ar| -12alnl|x+ar|+C

Passo 4

Podemos combinar os logaritmos em um só:
12al[lnl|x-ar|-lnl|x+ar|r] =12aln!l|x-ax+ar|+C

Resposta

integral 1x^2-a^2,dx =12aln!l|x-ax+ar|+C

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