Mostre que os pontos A(0,0,0), B(2,2,2) e C(4,4,4) são colineares.

Passo 1

O enunciado dá três pontos em \mathbb{R}^3:
A(0,0,0),\quad B(2,2,2),\quad C(4,4,4),
e pede para mostrar que eles são colineares. Três pontos são colineares se os vetores que saem de um mesmo ponto e vão aos outros dois são paralelos.

Passo 2

Escolhendo A como vértice comum, calculamos os vetores
\vec{AB} = B - A = (2-0,\,2-0,\,2-0) = (2,2,2),
\vec{AC} = C - A = (4-0,\,4-0,\,4-0) = (4,4,4).

Passo 3

Observamos que
\vec{AC} = (4,4,4) = 2\,(2,2,2) = 2\,\vec{AB}.
Como \vec{AC} é múltiplo escalar de \vec{AB}, esses vetores são paralelos.

Passo 4

Vetores paralelos indicam que A, B e C estão todos sobre a mesma reta que passa por A na direção de \vec{AB}. Logo, são colineares.

Resposta

Os pontos A, B e C são colineares.

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