Encontre o centro e o raio da esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+4 y+2 z+5=0.

Passo 1

O enunciado dá a esfera
x^{2}+y^{2}+z^{2}-6x+4y+2z+5=0
e pede o centro e o raio. Para isso vamos completar quadrados nos três termos quadráticos.

Passo 2

Complete o quadrado em x:
x^{2}-6x = (x-3)^{2}-9.

Passo 3

Complete o quadrado em y:
y^{2}+4y = (y+2)^{2}-4.

Passo 4

Complete o quadrado em z:
z^{2}+2z = (z+1)^{2}-1.
Substituindo tudo na equação original:
(x-3)^{2}-9 + (y+2)^{2}-4 + (z+1)^{2}-1 +5 = 0,
que simplifica para
(x-3)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} -9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-3)^{2} + (y+2)^{2} + (z+1)^{2} = 9.

Passo 5

Comparando com a forma padrão
(x-h)^{2} + (y-k)^{2} + (z-l)^{2} = r^{2},
vemos que
h=3,\quad k=-2,\quad l=-1,\quad r^{2}=9\;\Rightarrow\;r=3.

Resposta

O centro é (3,-2,-1) e o raio é 3.

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