Mostre que os pontos \mathrm{A}(1,-3), \mathrm{B}(3,2) e \mathrm{C}(-2,4) são vértices de triângulo isósceles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que os pontos A(1,-3), B(3,2) e C(-2,4) formam um triângulo isósceles. Para isso, vamos usar a fórmula da distância entre dois pontos no plano e comparar os comprimentos dos três lados.

Passo 2

A fórmula da distância entre dois pontos P(x_P,y_P) e Q(x_Q,y_Q) é \overline{PQ} = \sqrt{(x_Q - x_P)^2 + (y_Q - y_P)^2}.
Para evitar raízes até o fim, vamos calcular primeiro as distâncias ao quadrado.

Passo 3

Calcular \mathrm{AB}^2 com A(1,-3) e B(3,2):
\mathrm{AB}^2 = (3 - 1)^2 + \bigl(2 - (-3)\bigr)^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29.
Logo \mathrm{AB} = \sqrt{29}.

Passo 4

Calcular \mathrm{BC}^2 com B(3,2) e C(-2,4):
\mathrm{BC}^2 = \bigl(-2 - 3\bigr)^2 + (4 - 2)^2 = (-5)^2 + 2^2 = 25 + 4 = 29.
Logo \mathrm{BC} = \sqrt{29}.

Passo 5

Calcular \mathrm{CA}^2 com C(-2,4) e A(1,-3):
\mathrm{CA}^2 = (1 - (-2))^2 + \bigl(-3 - 4\bigr)^2 = 3^2 + (-7)^2 = 9 + 49 = 58.
Logo \mathrm{CA} = \sqrt{58}.

Passo 6

Como \mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \sqrt{29} e \mathrm{CA} = \sqrt{58}, dois lados são iguais. Portanto o triângulo ABC é isósceles.

Resposta

Os pontos A(1,-3), B(3,2) e C(-2,4) formam um triângulo isósceles, pois \mathrm{AB} = \mathrm{BC} = \sqrt{29}.

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