Qual é a velocidade mínima com a qual um projétil lançado a partir da superficie da Terra (esfera de massa M e raio R ) pode escapar, e como depende do ângulo de lançamento?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade mínima para um projétil lançado da superfície da Terra (massa M, raio R) escapar do poço gravitacional, ou seja, atingir rtoinfty. O conteúdo principal é conservação de energia em campo central e vamos usar o potencial gravitacional -GMm/r.

Passo 2

Escrevemos a energia mecânica total no ponto de lançamento (raio R):
E = K + U = 12 m v^2 - G M mR

Passo 3

Para que o projétil escape até rtoinfty com velocidade reduzindo a zero no infinito, basta exigir E>=0. Substituindo e isolando v:
12 m v^2 - G M mR >= 0

Passo 4

Logo
v^2 >= 2GMR Longrightarrow vmin = raiz2GMR

Passo 5

Note que essa expressão não depende do ângulo de lançamento, pois só importa a energia total para vencer o potencial gravitacional.

Resposta

A velocidade mínima de escape é
vmin = raiz2GMR,
e ela independe do ângulo de lançamento.

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