Mostre que a potência cedida a um circuito RLC forçado pode ser excrita na forma
barP=varepsilon0^22 L gamma omega^2(omega0^2-omega^2)^2+gamma^2 omega^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos a potência média cedida por uma fonte de tensão senoidal
varepsilon(t)=varepsilon0cos(omega t)
a um circuito série RLC no regime permanente. Vamos usar análise em fasores, lembrar que a impedância do circuito é
Z = R + il(omega L - 1omega Cr)
e que a potência média em regime senoidal é
barP=tfrac12I0varepsilon0cosvarphi,
onde I0 é a amplitude da corrente e varphi o ângulo de defasagem entre tensão e corrente.

Passo 2

Em fasores, a corrente de amplitude I0 satisfaz
I0 = varepsilon0lvert Zrvert com lvert Zrvert = raizR^2 + l(omega L - tfrac1omega Cr)^2
e o cosseno do ângulo de defasagem é
cosvarphi = Rlvert Zrvert,

Passo 3

Substituindo essas expressões em
barP=tfrac12I0varepsilon0cosvarphi
temos
barP = 12;varepsilon0lvert Zrvert;varepsilon0;Rlvert Zrvert = 12,varepsilon0^2,RR^2 + l(omega L - 1omega Cr)^2,

Passo 4

Para escrever no formato pedido, definimos
gamma = tfracRL e omega0^2 = tfrac1LC.
Observe que
omega L - 1omega C = Ll(omega - omega0^2omegar) = Lomega,(omega^2-omega0^2)
e portanto
l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 = L^2omega^2,(omega^2-omega0^2)^2,

Passo 5

Substituindo essas expressões no denominador de barP:
R^2 + l(omega L - tfrac1omega Cr)^2 = gamma^2L^2 + L^2omega^2(omega^2-omega0^2)^2 = L^2omega^2l[gamma^2omega^2 + (omega^2-omega0^2)^2r]
Então
barP = 12,varepsilon0^2,gamma LL^2omega^2l[gamma^2omega^2+(omega^2-omega0^2)^2r] = varepsilon0^22L;gamma,omega^2(omega0^2-omega^2)^2+gamma^2omega^2

Resposta

barP=varepsilon0^22L,gamma,omega^2l(omega0^2-omega^2r)^2+gamma^2omega^2

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