Mostre que:
Se o potencial magnético A é dado por A=12(u nabla v-v nabla u), então o campo magnético B=nabla times A é dado por nabla u times nabla v.

Passo 1

Temos o potencial magnético definido por A=tfrac12l(u,nabla v - v,nabla ur). O conteúdo da matéria aqui é cálculo vetorial, em particular o operador rotacional (curl) e a identidade para curvar o produto de uma função escalar com o gradiente de outra.

Passo 2

Usamos a identidade do cálculo vetorial
nablatimesl(f,nabla gr)=nabla ftimesnabla g
válida para quaisquer funções escalares f e g.

Passo 3

Aplicando essa identidade em cada termo de A, escrevemos:
nablatimesA=tfrac12l[nablatimes(u,nabla v)-nablatimes(v,nabla u)r]
Logo
nablatimes(u,nabla v)=nabla utimesnabla v
e
nablatimes(v,nabla u)=nabla vtimesnabla u.

Passo 4

Subtraindo e simplificando usando nabla vtimesnabla u=-,(nabla utimesnabla v), obtemos:
nablatimesA=tfrac12l(nabla utimesnabla v - (,-nabla utimesnabla v)r)=nabla utimesnabla v.

Resposta

O campo magnético resultante é B=nabla utimesnabla v.

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