Se o potencial eletromagnético
é dado por
, mostre que a indução magnética
é dada por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para o potencial vetorial
, o rotacional
é exatamente
. Aqui o conteúdo é cálculo vetorial (rotacional) em coordenadas esféricas, e vamos precisar converter
de cartesianas para esféricas e depois usar a fórmula do rotacional em esféricas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
em coordenadas esféricas
. Lembrando que
e que o versor azimutal é
Projetando
e os outros componentes são nulos:
.
Passo 3
Agora usamos a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas: o componente radial é
$$B_r=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta,A_\varphi\bigr).
\quad\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(-\tfrac{\cos\theta}{r}\bigr)=\frac{\sin\theta}{r},
$$
Os componentes e
saem zero, pois
e não há dependência em
.
Os componentes
Passo 4
Juntando tudo, conclui-se que o campo magnético é puramente radial e dado por
$$\mathbf{B}=\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
$$