Se o potencial eletromagnético A é dado por A=y zr(x^2+y^2) i-x zr(x^2+y^2) j, mostre que a indução magnética B=nabla times A é dada por B=rr^2.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para o potencial vetorial A=yzr(x^2+y^2),i - xzr(x^2+y^2),j, o rotacional B=nablatimesA é exatamente r/r^2. Aqui o conteúdo é cálculo vetorial (rotacional) em coordenadas esféricas, e vamos precisar converter A de cartesianas para esféricas e depois usar a fórmula do rotacional em esféricas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever A em coordenadas esféricas (r,theta,varphi). Lembrando que
x=rsinthetacosvarphi, y=rsinthetasinvarphi, z=rcostheta, x^2+y^2=r^2sin^2theta, r=raizx^2+y^2+z^2,
e que o versor azimutal é
varphi=-sinvarphi,i+cosvarphi,j
Projetando A em varphi, acha-se
Avarphi=Acdotvarphi=-z,(xcosvarphi+ysinvarphi)r(x^2+y^2)=-cotthetar,
e os outros componentes são nulos: Ar=Atheta=0.

Passo 3

Agora usamos a fórmula do rotacional em coordenadas esféricas: o componente radial é
$$B_r=\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(\sin\theta,A_\varphi\bigr).
Br=1rsinthetapartialpartialthetal(sintheta,Avarphir) \sin\theta,A_\varphi=-\frac{\cos\theta}{r},
\quad\frac{\partial}{\partial\theta}\bigl(-\tfrac{\cos\theta}{r}\bigr)=\frac{\sin\theta}{r},
Avarphi=-cottheta/rB_r=\frac{1}{r\sin\theta}\cdot\frac{\sin\theta}{r}=\frac{1}{r^2}.
$$
Os componentes sintheta,Avarphi=-costhetar, partialpartialthetal(-tfraccosthetarr)=sinthetar, e Br=1rsinthetacdotsinthetar=1r^2 saem zero, pois Btheta e não há dependência em Bvarphi.

Passo 4

Juntando tudo, conclui-se que o campo magnético é puramente radial e dado por
$$\mathbf{B}=\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}.
$$

Resposta

B=dfracrr^2

Exercícios relacionados