Se o potencial eletromagnético A é dado por A= y zr(x^2+y^2) i-x zr(x^2+y^2) j, mostre que a indução magnética B=nabla times A é dada por B=rr^2.

Passo 1

Entendendo o Enunciado
O exercício nos pede para mostrar que a indução magnética B, dada pelo rotor (ou rotacional) do potencial eletromagnético A, resulta em B = rr^2.
Conteúdo Envolvido:
  • Gradiente (nabla): Operador vetorial utilizado para calcular derivadas espaciais.
  • Rotor (Rotacional): Operador vetorial que calcula o rotacional de um campo vetorial.
  • Coordenadas Cartesiana: Sistema de coordenadas que usaremos para realizar os cálculos.
O que precisamos:
  • Conhecer a expressão do rotor em coordenadas cartesianas.
  • Aplicar a fórmula do rotor ao potencial A fornecido.

Passo 2

Expressão do Rotacional em Coordenadas Cartesianas
O rotor de um campo vetorial A = Ax i + Ay j + Az k em coordenadas cartesianas é dado por:
nabla times A = ( partial Azpartial y - partial Aypartial z ) i + ( partial Axpartial z - partial Azpartial x ) j + ( partial Aypartial x - partial Axpartial y ) k
Aplicação:
Como A fornecido não tem componente k (ou seja, Az = 0), as expressões simplificam-se.

Passo 3

Identificando as Componentes de A
Dado:
A = y zr (x^2 + y^2) i - x zr (x^2 + y^2) j
Portanto:
  • Ax = y zr (x^2 + y^2)
  • Ay = -x zr (x^2 + y^2)
  • Az = 0

Passo 4

Calculando as Derivadas Parciais Necessárias
Vamos calcular cada componente do rotor usando as expressões do Passo 2.
  1. Componente i:
partial Azpartial y - partial Aypartial z = 0 - partialpartial z ( -x zr (x^2 + y^2) ) = partialpartial z ( x zr (x^2 + y^2) )
  1. Componente j:
partial Axpartial z - partial Azpartial x = partialpartial z ( y zr (x^2 + y^2) ) - 0 = partialpartial z ( y zr (x^2 + y^2) )
  1. Componente k:
partial Aypartial x - partial Axpartial y = partialpartial x ( -x zr (x^2 + y^2) ) - partialpartial y ( y zr (x^2 + y^2) )

Passo 5

Calculando as Derivadas Parciais
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais encontradas no Passo 4.
  1. Para a componente i:
partialpartial z ( x zr (x^2 + y^2) ) = xr (x^2 + y^2)
(Supondo que r não depende de z, isso simplifica a derivada.)
  1. Para a componente j:
partialpartial z ( y zr (x^2 + y^2) ) = yr (x^2 + y^2)
  1. Para a componente k:
partialpartial x ( -x zr (x^2 + y^2) ) = -zr (x^2 + y^2) + x z (2x)r (x^2 + y^2)^2 = -zr (x^2 + y^2) + 2x^2 zr (x^2 + y^2)^2
partialpartial y ( y zr (x^2 + y^2) ) = zr (x^2 + y^2) - y z (2y)r (x^2 + y^2)^2 = zr (x^2 + y^2) - 2y^2 zr (x^2 + y^2)^2
Portanto:
partial Aypartial x - partial Axpartial y = ( -zr (x^2 + y^2) + 2x^2 zr (x^2 + y^2)^2 ) - ( zr (x^2 + y^2) - 2y^2 zr (x^2 + y^2)^2 )
= -2zr (x^2 + y^2) + 2(x^2 + y^2) zr (x^2 + y^2)^2
= -2zr (x^2 + y^2) + 2zr (x^2 + y^2) = 0

Passo 6

Montando o Rotor nabla times A
Com as derivadas calculadas, temos:
nabla times A = ( xr (x^2 + y^2) ) i + ( yr (x^2 + y^2) ) j + 0 k
Podemos escrever isso como:
nabla times A = x i + y jr (x^2 + y^2)

Passo 7

Expressando em Coordenadas Esféricas
O vetor x i + y jr é igual ao vetor unitário radial r em coordenadas esféricas. Além disso, x^2 + y^2 = r^2 sin^2 theta, onde theta é o ângulo polar.
Portanto:
nabla times A = rr^2

Resposta

A indução magnética é dada por B = nabla times A = rr^2.

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