Se o potencial eletromagnético
é dado por
, mostre que a indução magnética
é dada por
.
Passo 1
Entendendo o Enunciado
O exercício nos pede para mostrar que a indução magnética
, dada pelo rotor (ou rotacional) do potencial eletromagnético
, resulta em
.
Conteúdo Envolvido:
- Gradiente (nabla): Operador vetorial utilizado para calcular derivadas espaciais.
- Rotor (Rotacional): Operador vetorial que calcula o rotacional de um campo vetorial.
- Coordenadas Cartesiana: Sistema de coordenadas que usaremos para realizar os cálculos.
O que precisamos:
- Conhecer a expressão do rotor em coordenadas cartesianas.
- Aplicar a fórmula do rotor ao potencial
fornecido.
Passo 2
Expressão do Rotacional em Coordenadas Cartesianas
O rotor de um campo vetorial
em coordenadas cartesianas é dado por:
Aplicação:
Como fornecido não tem componente
(ou seja,
), as expressões simplificam-se.
Como
Passo 3
Identificando as Componentes de
Dado:
Portanto:
Passo 4
Calculando as Derivadas Parciais Necessárias
Vamos calcular cada componente do rotor usando as expressões do Passo 2.
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Calculando as Derivadas Parciais
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais encontradas no Passo 4.
- Para a componente
:
(Supondo que
não depende de
, isso simplifica a derivada.)
- Para a componente
:
- Para a componente
:
Portanto:
Passo 6
Montando o Rotor
Com as derivadas calculadas, temos:
Podemos escrever isso como:
Passo 7
Expressando em Coordenadas Esféricas
O vetor
é igual ao vetor unitário radial
em coordenadas esféricas. Além disso,
, onde
é o ângulo polar.
Portanto:
Resposta
A indução magnética é dada por
.