Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida B em oito subcaixas de igual tamanho.
integral triplaB raizx e^x x d V, onde
B=(x, y, z) mid 0 <= x <= 4,0 <= y <= 1,0 <= z <= 2

Passo 1

O exercício pede para estimar a integral tripla integral triplaB raizx,e^x^2,dV sobre o bloco B=[0,4]times[0,1]times[0,2] usando a regra do ponto médio com 8 subcaixas iguais. Vamos usar conteúdo de separação de intervalos, cálculo de pontos médios e soma de valores de função multiplicados pelo volume de cada subcaixa.

Passo 2

Primeiro dividimos cada aresta de B em 2 partes iguais, pois 2times2times2=8. Assim temos:
De,
De,
De,
e o volume de cada subcaixa é
De

Passo 3

Os pontos médios em cada subintervalo são:
x1=1,;x2=3;
y1=0.25,;y2=0.75;
z1=0.5,;z2=1.5.
A função integrando é f(x,y,z)=raizx,e^x^2, que não depende de y nem de z. Então em cada valor de xi temos 4 pontos médios (pois há 2 escolhas para y e 2 para z). A soma de todos os valores de f vezes De fica:
sumi=1^2sumj=1^2sumk=1^2 f(xi,yj,zk),De

Passo 4

Calculamos f(1)=raiz1,e^1^2=e e f(3)=raiz3,e^3^2=raiz3,e^9.
Logo a aproximação pela regra do ponto médio é
4e + 4raiz3,e^9
Se quisermos valor numérico, usando eapprox2.71828 e e^9approx8103.084, obtemos aproximadamente 5.615times10^4.

Resposta

A estimativa pelo ponto médio com 8 subcaixas é
4e + 4raiz3,e^9 ,approx,5.6150times10^4

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