Use a Regra do Ponto Médio para as integrais triplas (Exercício 24) para estimar o valor da integral. Divida
em oito subcaixas de igual tamanho.
, onde
Passo 1
O exercício pede para estimar a integral tripla
sobre o bloco
usando a regra do ponto médio com 8 subcaixas iguais. Vamos usar conteúdo de separação de intervalos, cálculo de pontos médios e soma de valores de função multiplicados pelo volume de cada subcaixa.
Passo 2
Primeiro dividimos cada aresta de
em 2 partes iguais, pois
. Assim temos:
,
,
,
e o volume de cada subcaixa é
e o volume de cada subcaixa é
Passo 3
Os pontos médios em cada subintervalo são:
;
;
.
A função integrando é , que não depende de
nem de
. Então em cada valor de
temos 4 pontos médios (pois há 2 escolhas para
e 2 para
). A soma de todos os valores de
vezes
fica:
A função integrando é
Passo 4
Calculamos
e
.
Logo a aproximação pela regra do ponto médio é
Logo a aproximação pela regra do ponto médio é
Se quisermos valor numérico, usando
e
, obtemos aproximadamente
.
Resposta
A estimativa pelo ponto médio com 8 subcaixas é