5- Potencial Degrau: Suponha a partícula incidindo no degrau vindo de x<0. Calcule o coeficiente de transmissão e de reflexão para os dois casos de energia.
(a) \operatorname{Com} 0 \leq E<V_{0};
V(x)=\left\{\begin{array}{c}0, x<0 \\\ V_{0}, x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um potencial degrau e pede os coeficientes de reflexão e transmissão quando a partícula incide vindo de x<0\) com energia \(\,0\le E<V_{0}\,\). Dados explícitos: - Potencial: \[V(x)=\begin{cases} 0, & x<0,\\[4pt] V_{0}, & x\ge 0, \end{cases}
  • Partícula incidente pelo lado esquerdo ( x<0\]). - Energia da partícula: \(\,0\le E<V_{0}\, (caso clássico proibido para x\ge0).
    O que se pede:
    - Calcular o coeficiente de reflexão R (fração da corrente refletida em relação à incidente).
    - Calcular o coeficiente de transmissão T (fração da corrente transmitida em relação à incidente).
    Observação: quando E<V_{0}, a solução em x\ge0 é uma onda evanescente (decrescente), então é preciso tratar corretamente amplitudes e correntes.]

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo e as soluções gerais em cada região.
A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi=E\psi,
onde m é a massa da partícula, \hbar é a constante reduzida de Planck, \psi(x) é a função de onda e E é a energia total. Em cada região o potencial é constante, então a equação reduz a equações diferenciais com soluções exponenciais/oscilatórias.
Definir:
k\equiv\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}\quad(\text{número de onda na região }x<0), \qquad \kappa\equiv\frac{\sqrt{2m(V_{0}-E)}}{\hbar}\quad(\text{decaimento na região }x\ge0).úãã
Ambos são reais positivos quando 0\le E<V_{0}.

Passo 3

Escrever a solução em x<0 (região I, antes do degrau).
Como a partícula incide pela esquerda, a solução na região x<0 é combinação de onda incidente (direção +x) e refletida (direção -x). Escolhendo amplitude da incidente igual a 1 para fixar escala:
\psi_{I}(x)=e^{ikx}+r\,e^{-ikx},\qquad x<0,
onde r é a amplitude complexa de reflexão que vamos determinar. A densidade de probabilidade associada a uma onda plana e^{\pm ikx} fornece corrente (veja passo seguinte).

Passo 4

Escrever a solução em x\ge0 (região II, após o degrau) e justificar a escolha.
Para E<V_{0} a energia é menor que o potencial; as soluções são exponenciais reais. A solução geral seria combinação de e^{\kappa x} e e^{-\kappa x}, mas a componente e^{\kappa x} diverge quando x\to+\infty, o que é fisicamente proibido (função de onda deve ser finita e quadrado-integrável). Portanto:
\psi_{II}(x)=A\,e^{-\kappa x},\qquad x\ge 0,
onde A é a amplitude complexa dentro da barreira (não é zero em geral — há penetração, mas não corrente transmitida).

Passo 5

Impor condições de contorno em x=0: continuidade de \psi e de sua derivada.
Para potenciais finitos há continuidade de \psi e de \psi' em x=0. Assim:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0)\quad\Rightarrow\quad 1+r = A,
\psi_{I}'(0)=\psi_{II}'(0)\quad\Rightarrow\quad ik(1-r) = -\kappa A.
Essas duas equações relacionam r e A.

Passo 6

Resolver o sistema para r e A passo a passo.
Usar A=1+r na segunda equação:
ik(1-r) = -\kappa(1+r).
Expandir e reorganizar para isolar r:
ik - ikr = -\kappa - \kappa r
-ikr + \kappa r = -\kappa - ik
r(\kappa - ik) = -(\kappa + ik).
Portanto a amplitude de reflexão é
r = -\frac{\kappa + ik}{\kappa - ik}.
A amplitude na região II é A=1+r. Calcular explicitamente A:
A = 1 + r = 1 - \frac{\kappa + ik}{\kappa - ik} = \frac{\kappa - ik - (\kappa + ik)}{\kappa - ik} = \frac{-2ik}{\kappa - ik}.
Podem-se deixar r e A nessas formas; são amplitudes complexas que mostram fase e penetração.

Passo 7

Calcular correntes de probabilidade e, a partir delas, R e T.
A densidade de corrente de probabilidade em 1D é
j(x)=\frac{\hbar}{2mi}\big(\psi^{*}\psi' - \psi\,\psi'^{*}\big)=\frac{\hbar}{m}\Im\!\big(\psi^{*}\psi'\big).
Calcular corrente incidente (onda e^{ikx} com amplitude 1):
j_{\rm inc}=\frac{\hbar}{m}k.
Corrente refletida (onda r e^{-ikx}):
j_{\rm ref}=\frac{\hbar}{m}(-k)|r|^{2}=-\frac{\hbar}{m}k|r|^{2}.
Portanto o coeficiente de reflexão (fração da corrente refletida em módulo) é
R=\frac{|j_{\rm ref}|}{j_{\rm inc}}=|r|^{2}.
Agora a corrente na região x\ge0. Para \psi_{II}(x)=A e^{-\kappa x} tem-se
\psi_{II}^{*}\psi_{II}' = A^{*}e^{-\kappa x}\cdot(-\kappa A)e^{-\kappa x} = -\kappa|A|^{2}e^{-2\kappa x},
que é real. Assim \Im(\psi_{II}^{*}\psi_{II}')=0 e
j_{\rm trans}=0.
Logo o coeficiente de transmissão (razão das correntes transmitida/incidente) é
T=\frac{j_{\rm trans}}{j_{\rm inc}}=0.

Passo 8

Mostrar que R=1 explicitamente e comentar interpretação física.
Calcular |r|^{2} para a expressão encontrada:
r = -\frac{\kappa + ik}{\kappa - ik}.
O módulo ao quadrado é
|r|^{2}=\frac{(\kappa^{2}+k^{2})}{(\kappa^{2}+k^{2})}=1.
Portanto R=|r|^{2}=1 e T=0. Interpretação física: para E<V_{0} há reflexão total de corrente (não há corrente transmitida para x\to+\infty), mas a função de onda penetra uma distância finita dentro da barreira (com decaimento característico e^{-\kappa x}); isto é, existe amplitude dentro da barreira (túnel evanescente) mas sem fluxo de partícula transportado para +\infty. A profundidade de penetração típica é 1/\kappa.

Resposta

R=1
T=0

Exercícios relacionados