5- Potencial Degrau: Suponha a partícula incidindo no degrau vindo de
. Calcule o coeficiente de transmissão e de reflexão para os dois casos de energia.
(a)
;
(a)
Passo 1
O enunciado dá um potencial degrau e pede os coeficientes de reflexão e transmissão quando a partícula incide vindo de
- Partícula incidente pelo lado esquerdo (
(caso clássico proibido para
).
O que se pede:
- Calcular o coeficiente de reflexão(fração da corrente refletida em relação à incidente).
- Calcular o coeficiente de transmissão(fração da corrente transmitida em relação à incidente).
Observação: quando, a solução em é uma onda evanescente (decrescente), então é preciso tratar corretamente amplitudes e correntes.]
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo e as soluções gerais em cada região.
A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D é
A equação de Schrödinger independente do tempo em 1D é
onde
é a massa da partícula,
é a constante reduzida de Planck,
é a função de onda e
é a energia total. Em cada região o potencial é constante, então a equação reduz a equações diferenciais com soluções exponenciais/oscilatórias.
Definir:
Ambos são reais positivos quando
.
Passo 3
Escrever a solução em
(região I, antes do degrau).
Como a partícula incide pela esquerda, a solução na região é combinação de onda incidente (direção +x) e refletida (direção -x). Escolhendo amplitude da incidente igual a 1 para fixar escala:
Como a partícula incide pela esquerda, a solução na região
onde
é a amplitude complexa de reflexão que vamos determinar. A densidade de probabilidade associada a uma onda plana
fornece corrente (veja passo seguinte).
Passo 4
Escrever a solução em
(região II, após o degrau) e justificar a escolha.
Para a energia é menor que o potencial; as soluções são exponenciais reais. A solução geral seria combinação de
e
, mas a componente
diverge quando
, o que é fisicamente proibido (função de onda deve ser finita e quadrado-integrável). Portanto:
Para
onde
é a amplitude complexa dentro da barreira (não é zero em geral — há penetração, mas não corrente transmitida).
Passo 5
Impor condições de contorno em
: continuidade de
e de sua derivada.
Para potenciais finitos há continuidade de e de
em
. Assim:
Para potenciais finitos há continuidade de
Essas duas equações relacionam
e
.
Passo 6
Resolver o sistema para
e
passo a passo.
Usar na segunda equação:
Usar
Expandir e reorganizar para isolar
:
Portanto a amplitude de reflexão é
A amplitude na região II é
. Calcular explicitamente
:
Podem-se deixar
e
nessas formas; são amplitudes complexas que mostram fase e penetração.
Passo 7
Calcular correntes de probabilidade e, a partir delas,
e
.
A densidade de corrente de probabilidade em 1D é
A densidade de corrente de probabilidade em 1D é
Calcular corrente incidente (onda
com amplitude
):
Corrente refletida (onda
):
Portanto o coeficiente de reflexão (fração da corrente refletida em módulo) é
Agora a corrente na região
. Para
tem-se
que é real. Assim
e
Logo o coeficiente de transmissão (razão das correntes transmitida/incidente) é
Passo 8
Mostrar que
explicitamente e comentar interpretação física.
Calcular para a expressão encontrada:
Calcular
O módulo ao quadrado é
Portanto
e
. Interpretação física: para
há reflexão total de corrente (não há corrente transmitida para
), mas a função de onda penetra uma distância finita dentro da barreira (com decaimento característico
); isto é, existe amplitude dentro da barreira (túnel evanescente) mas sem fluxo de partícula transportado para
. A profundidade de penetração típica é
.