Mostre que
e
existem em toda parte e encontre
para as funções abaixo(sugestão: ler a seção 23 do Churchill).
Passo 1
A função dada é
. O que a questão pede é mostrar que as derivadas primeira e segunda de
existem em todo o plano complexo (ou seja,
é inteira) e calcular explicitamente
. Para isso, vamos usar a definição de derivada complexa e a regra do poder para polinômios.
Passo 2
Sabemos que polinômios de
são funções inteiras, mas para ficar claro, calculemos
pela definição:
Expandindo a diferença de cubos, temos
e, dividindo por
,
Fazendo
o limite é
Passo 3
Como
também é um polinômio, ele é derivável em todo
. Agora aplicamos de novo a regra do poder para achar a segunda derivada:
Passo 4
Portanto,
e
existem em todo o plano complexo e