Mostre que f^prime(z) e f^prime prime(z) existem em toda parte e encontre f^prime prime(z) para as funções abaixo(sugestão: ler a seção 23 do Churchill).
f(z)=z^3

Passo 1

A função dada é f(z)=z^3. O que a questão pede é mostrar que as derivadas primeira e segunda de f existem em todo o plano complexo (ou seja, f é inteira) e calcular explicitamente f''(z). Para isso, vamos usar a definição de derivada complexa e a regra do poder para polinômios.

Passo 2

Sabemos que polinômios de z são funções inteiras, mas para ficar claro, calculemos f'(z) pela definição:
f'(z)=limhto0(z+h)^3 - z^3h
Expandindo a diferença de cubos, temos
(z+h)^3 - z^3 = 3z^2h + 3zh^2 + h^3
e, dividindo por h,
(z+h)^3 - z^3h = 3z^2 + 3zh + h^2
Fazendo hto0 o limite é
f'(z)=3z^2

Passo 3

Como f'(z)=3z^2 também é um polinômio, ele é derivável em todo C. Agora aplicamos de novo a regra do poder para achar a segunda derivada:
f''(z)=ddzl(3z^2r)=6z

Passo 4

Portanto, f'(z) e f''(z) existem em todo o plano complexo e
f''(z)=6z

Resposta

f''(z)=6z

Exercícios relacionados