Usando f(r e^i theta)=R(r, 0) e^i phi(r, theta) na qual R(r, theta) e phi(r, theta) são funções reais diferenciáveis de r e theta, mostre que as condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares se tornam:
(a) partialr R=Rr partialtheta phi
(b) 1r partialtheta R=-R partialr phi

Passo 1

Vamos resumir o que temos: a função é dada por f(re{i\theta})=R(r,\theta)e{i\phi(r,\theta)}, onde R e φ são reais e diferenciáveis. Queremos obter as condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, lembrando que para u(r,θ) e v(r,θ) definidas por u+iv=f, as CR em polares são
ur=1r,vtheta,
vr=-1r,utheta

Passo 2

Escrevemos as partes real e imaginária em função de R e φ:
u=R\cos\phi, v=R\sin\phi.
Então calculamos as derivadas parciais:
ur=Rrcosphi - R,phirsinphi,
vr=Rrsinphi + R,phircosphi,
utheta=Rthetacosphi - R,phithetasinphi,
vtheta=Rthetasinphi + R,phithetacosphi

Passo 3

Aplicamos a primeira condição CR u_r=\tfrac1r v_\theta. Para isolar ∂_rR, projetamos ambos os lados no vetor (cosφ,sinφ):
LHS: u_r\cos\phi + v_r\sin\phi=R_r.
RHS: \tfrac1r(v_\theta\cos\phi - u_\theta\sin\phi)=\tfrac1r[R,\phi_\theta].
Igualando dá
partialr R= Rr,partialthetaphi, que é a condição (a).

Passo 4

Agora usamos a segunda condição CR v_r=-\tfrac1r u_\theta e projetamos sobre (-sinφ,cosφ):
LHS: -u_r\sin\phi + v_r\cos\phi=R,\phi_r.
RHS: -\tfrac1r(v_\theta\sin\phi + u_\theta\cos\phi)=-\tfrac1r[R_\theta].
Igualando obtemos
1r,partialtheta R=-R,partialrphi, que é a condição (b).

Resposta

As condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares ficam:
(a) partialrR= Rr,partialthetaphi
(b) 1r,partialthetaR=-R,partialrphi

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