Usando
na qual
e
são funções reais diferenciáveis de
e
, mostre que as condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares se tornam:
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
Vamos resumir o que temos: a função é dada por f(re{i\theta})=R(r,\theta)e{i\phi(r,\theta)}, onde R e φ são reais e diferenciáveis. Queremos obter as condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares, lembrando que para u(r,θ) e v(r,θ) definidas por u+iv=f, as CR em polares são
Passo 2
Escrevemos as partes real e imaginária em função de R e φ:
u=R\cos\phi, v=R\sin\phi.
Então calculamos as derivadas parciais:
u=R\cos\phi, v=R\sin\phi.
Então calculamos as derivadas parciais:
Passo 3
Aplicamos a primeira condição CR u_r=\tfrac1r v_\theta. Para isolar ∂_rR, projetamos ambos os lados no vetor (cosφ,sinφ):
LHS: u_r\cos\phi + v_r\sin\phi=R_r.
RHS: \tfrac1r(v_\theta\cos\phi - u_\theta\sin\phi)=\tfrac1r[R,\phi_\theta].
Igualando dá
LHS: u_r\cos\phi + v_r\sin\phi=R_r.
RHS: \tfrac1r(v_\theta\cos\phi - u_\theta\sin\phi)=\tfrac1r[R,\phi_\theta].
Igualando dá
Passo 4
Agora usamos a segunda condição CR v_r=-\tfrac1r u_\theta e projetamos sobre (-sinφ,cosφ):
LHS: -u_r\sin\phi + v_r\cos\phi=R,\phi_r.
RHS: -\tfrac1r(v_\theta\sin\phi + u_\theta\cos\phi)=-\tfrac1r[R_\theta].
Igualando obtemos
LHS: -u_r\sin\phi + v_r\cos\phi=R,\phi_r.
RHS: -\tfrac1r(v_\theta\sin\phi + u_\theta\cos\phi)=-\tfrac1r[R_\theta].
Igualando obtemos
Resposta
As condições de Cauchy-Riemann em coordenadas polares ficam:
(a)
(b)
(a)
(b)