Seja
Calcule
onde
é um dodecágono regular de lado 1 centrado na origem no sentido horário
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede pra calcular a integral de linha de um campo vetorial $ F = (3 + 2xy, x^2 - 3y^2) $ ao longo de um dodecágono regular (um polígono de 12 lados) de lado 1, centrado na origem e percorrido no sentido horário.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green.
O que vamos precisar:
- Compreender o que é uma integral de linha.
- Saber aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
- Conhecer as propriedades do campo vetorial dado para simplificar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial $ F $ ao longo de uma curva $ C $. A fórmula geral é:
onde $ F = (M, N) $.
No nosso caso, $ M = 3 + 2xy $ e $ N = x^2 - 3y^2 $.
Passo 3
Agora, vamos verificar se o campo vetorial $ F $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $. Isso implica que a integral de linha de $ F $ ao longo de qualquer curva fechada é zero.
Para verificar se $ F $ é conservativo, calculamos a rotacional de $ F $:
Calculando:
Então,
Como a rotacional é zero, $ F $ é um campo vetorial conservativo.
Passo 4
Como $ F $ é conservativo, podemos concluir que a integral de linha de $ F $ ao longo de qualquer curva fechada será zero. Isso é uma consequência direta do fato de que a função potencial retorna ao mesmo valor ao final de um percurso fechado, resultando em um trabalho líquido de zero.
Passo 5
Mesmo que o dodecágono seja percorrido no sentido horário, isso não afeta o resultado, pois para campos conservativos, a orientação da curva não altera o fato de que a integral de linha será zero.