Seja F=(3+2 x y, x^2-3 y^2),(x, y) in R^2
Calcule integral F cdot d r onde C é um dodecágono regular de lado 1 centrado na origem no sentido horário

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você me passou pede pra calcular a integral de linha de um campo vetorial $ F = (3 + 2xy, x^2 - 3y^2) $ ao longo de um dodecágono regular (um polígono de 12 lados) de lado 1, centrado na origem e percorrido no sentido horário.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, especificamente integrais de linha e o Teorema de Green.
O que vamos precisar:
  • Compreender o que é uma integral de linha.
  • Saber aplicar o Teorema de Green para transformar a integral de linha em uma integral dupla.
  • Conhecer as propriedades do campo vetorial dado para simplificar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, ela calcula o trabalho realizado por um campo vetorial $ F $ ao longo de uma curva $ C $. A fórmula geral é:
F
onde $ F = (M, N) $.
No nosso caso, $ M = 3 + 2xy $ e $ N = x^2 - 3y^2 $.

Passo 3

Agora, vamos verificar se o campo vetorial $ F $ é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial $ \phi $ tal que $ F = \nabla \phi $. Isso implica que a integral de linha de $ F $ ao longo de qualquer curva fechada é zero.
Para verificar se $ F $ é conservativo, calculamos a rotacional de $ F $:
F
Calculando:
phi
F = nabla phi
Então,
F
Como a rotacional é zero, $ F $ é um campo vetorial conservativo.

Passo 4

Como $ F $ é conservativo, podemos concluir que a integral de linha de $ F $ ao longo de qualquer curva fechada será zero. Isso é uma consequência direta do fato de que a função potencial retorna ao mesmo valor ao final de um percurso fechado, resultando em um trabalho líquido de zero.

Passo 5

Mesmo que o dodecágono seja percorrido no sentido horário, isso não afeta o resultado, pois para campos conservativos, a orientação da curva não altera o fato de que a integral de linha será zero.

Resposta

integralC F cdot dr = 0

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