Mostre que o produto escalar de um vetor complexo consigo mesmo é um número real (Se v \in \mathbb{C}^{n} então \langle v, v\rangle \in \mathbb{R} ).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um vetor v\in\mathbb{C}^n, o seu produto escalar consigo mesmo \langle v,v\rangle é um número real.
O conteúdo envolvido é o produto escalar (ou produto interno) em espaços vetoriais complexos e a propriedade da conjugação complexa.

Passo 2

Lembramos a definição usual do produto escalar em \mathbb{C}^n: para v=(v_1,\dots,v_n) e w=(w_1,\dots,w_n),
\langle v,w\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{n}\overline{v_i}\,w_i.
Em particular, tomando w=v, temos
\langle v,v\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{n}\overline{v_i}\,v_i.

Passo 3

Para qualquer número complexo z vale
\overline{z}\,z \;=\;|z|^2,
que é um número real não-negativo. Então, para cada índice i,
\overline{v_i}\,v_i = |v_i|^2 \in \mathbb{R}.

Passo 4

Como soma de números reais continua sendo real, concluímos que
\langle v,v\rangle \;=\;\sum_{i=1}^{n}|v_i|^2 \;\in\;\mathbb{R}.

Resposta

\displaystyle \langle v,v\rangle = \sum_{i=1}^n |v_i|^2 \in \mathbb{R}.

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