Seja g(t)=e^{\alpha t}. Mostre que g(t)=\operatorname{cosh} (\alpha t)+\operatorname{sinh} (\alpha t).

Passo 1

O enunciado define a função
g(t)=e^{\alpha t}
e pede para mostrar que ela pode ser escrita em termos das funções hiperbólicas \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh}. Vamos usar as definições dessas funções em termos de exponenciais.

Passo 2

Por definição temos
\operatorname{cosh}(\alpha t)=\frac{e^{\alpha t}+e^{-\alpha t}}{2}, \qquad \operatorname{sinh}(\alpha t)=\frac{e^{\alpha t}-e^{-\alpha t}}{2}.

Passo 3

Somando essas duas expressões:
\operatorname{cosh}(\alpha t)+\operatorname{sinh}(\alpha t) =\frac{e^{\alpha t}+e^{-\alpha t}}{2} +\frac{e^{\alpha t}-e^{-\alpha t}}{2} =\frac{2\,e^{\alpha t}}{2} =e^{\alpha t}.

Resposta

Portanto
g(t)=e^{\alpha t}=\operatorname{cosh}(\alpha t)+\operatorname{sinh}(\alpha t).

Exercícios relacionados