Seja g(t)=e^{(\alpha+j \beta) t}, mostre que g_{p}(t)=\operatorname{cosh} (\alpha t) \cos (\beta t)+j \operatorname{sinh} (\alpha t) \sin (\beta t) e g_{i}(t)= \operatorname{sinh} (\alpha t) \cos (\beta t)+j \operatorname{cosh} (\alpha t) \sin (\beta t)

Passo 1

O enunciado define a função
g(t)=e^{(\alpha + j\beta)t}
e pede para mostrar que suas partes par e ímpar podem ser escritas em termos de funções hiperbólicas e trigonométricas. Vamos usar as definições de parte par e ímpar:
g_{p}(t)=\frac{g(t)+g(-t)}{2}, \quad g_{i}(t)=\frac{g(t)-g(-t)}{2},
além das identidades das funções hiperbólicas.

Passo 2

Calcular g(-t). Como
g(-t)=e^{(\alpha + j\beta)(-t)} =e^{-\alpha t}\,e^{-j\beta t} =e^{-\alpha t}\bigl(\cos(\beta t)-j\sin(\beta t)\bigr),
temos:
g(t)=e^{\alpha t}\bigl(\cos(\beta t)+j\sin(\beta t)\bigr), \quad g(-t)=e^{-\alpha t}\bigl(\cos(\beta t)-j\sin(\beta t)\bigr).

Passo 3

Lembrar as definições de cosseno e seno hiperbólico:
\operatorname{cosh}(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}, \quad \operatorname{sinh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.

Passo 4

Determinar a parte par g_{p}(t):
g_{p}(t) =\frac{g(t)+g(-t)}{2} =\frac{e^{\alpha t}\cos(\beta t)+e^{-\alpha t}\cos(\beta t)}{2} +j\,\frac{e^{\alpha t}\sin(\beta t)-e^{-\alpha t}\sin(\beta t)}{2}.
Usando as identidades,
\frac{e^{\alpha t}+e^{-\alpha t}}{2}=\operatorname{cosh}(\alpha t), \quad \frac{e^{\alpha t}-e^{-\alpha t}}{2}=\operatorname{sinh}(\alpha t),
obtém-se
g_{p}(t)=\operatorname{cosh}(\alpha t)\cos(\beta t) +j\,\operatorname{sinh}(\alpha t)\sin(\beta t).

Passo 5

Determinar a parte ímpar g_{i}(t):
g_{i}(t) =\frac{g(t)-g(-t)}{2} =\frac{e^{\alpha t}\cos(\beta t)-e^{-\alpha t}\cos(\beta t)}{2} +j\,\frac{e^{\alpha t}\sin(\beta t)+e^{-\alpha t}\sin(\beta t)}{2}.
Aplicando as mesmas identidades hiperbólicas, vem
g_{i}(t)=\operatorname{sinh}(\alpha t)\cos(\beta t) +j\,\operatorname{cosh}(\alpha t)\sin(\beta t).

Resposta

g_{p}(t)=\operatorname{cosh}(\alpha t)\cos(\beta t) +j\,\operatorname{sinh}(\alpha t)\sin(\beta t),
g_{i}(t)=\operatorname{sinh}(\alpha t)\cos(\beta t) +j\,\operatorname{cosh}(\alpha t)\sin(\beta t).

Exercícios relacionados