Mostre que a projeção estereográfica é uma aplicação localmente conforme da esfera no plano.
Passo 1
O que o problema pede e quais dados temos. O enunciado quer que eu mostre que a projeção estereográfica é uma aplicação localmente conforme da esfera para o plano. As informações que vou usar são estas:
- A esfera unitária em
é . - O polo norte é
. A projeção estereográfica é a aplicação que envia cada ponto para o ponto de interseção da reta com o plano . - O objetivo é mostrar que, localmente (em todo ponto de
diferente de ), preserva ângulos, isto é, é conforme: o diferencial de multiplica produtos escalares por um fator escalar dependente do ponto.
Passo 2
Definir explicitamente a projeção estereográfica e a sua inversa. Para um ponto
a projeção para o plano
dá coordenadas
com a fórmula padrão
É mais prático para demonstrar conformidade trabalhar com a inversa
. Para
denote
e
. A inversa é dada por
(Se necessário: essa fórmula provém de intersectar a reta que parte de
e passa por
com a esfera; resolvendo para o parâmetro obtém-se
, daí a expressão acima.)
Passo 3
Plano de ataque para provar conformidade. Vou calcular as derivadas parciais
e
, formar a primeira forma fundamental (os coeficientes
,
,
) e mostrar que
Isso significa que a métrica trazida de
para
via
vale
ou seja, é um escalar positivo
multiplicando a métrica euclidiana
— exactamente a condição de conformidade (ângulos preservados e escalamento isotrópico).
Passo 4
Calcular
e
. Começando de
e
aplico a regra do quociente para cada componente. É conveniente escrever as derivadas em forma fatorada:
(Para ver uma componente: por exemplo
tem
; as outras são análogas.)
Passo 5
Calcular os produtos escalares necessários. Usando as expressões fatoradas, fator comum
aparece nos produtos:
- Para
:
Agora simplifico o colchete: expandindo e reunindo termos observa-se que
(Detalhe algébrico:
e
; somando dá
.)
Portanto
Portanto
- Por simetria (ou repetindo o cálculo trocando
por ) obtém-se
- Para o produto misto
:
Simplificando o colchete obtemos zero (os termos se cancelam; calcular os parênteses dá uma soma que se reduz a zero). Assim
Passo 6
Concluir que a métrica puxada é conformal. Reunindo os resultados
logo a primeira forma fundamental (a métrica na coordenada
trazida de
pela inversa
) é
Isto mostra que, em coordenadas
, a métrica da esfera é um fator escalar positivo multiplicando a métrica euclidiana. Essa é precisamente a condição que garante que
(e portanto
) preservam ângulos localmente: o diferencial leva o produto interno a um múltiplo escalar comum, preservando razões e ângulos entre vetores.
Passo 7
Observações finais e interpretação. A constante conformal (fator de escala) é
, sempre positiva; assim
é conformal e difeomorfismo suave de
para
. Como conformidade é uma propriedade local, a projeção estereográfica
é localmente conforme em todo ponto de
exceto no polo norte
(ali a projeção não está definida). Além disso, essa demonstração fornece também a fórmula explícita do fator conforme.
Resposta
A projeção estereográfica é localmente conforme; explicitamente, se
é a inversa dada por
então
ou seja, a métrica da esfera é um fator escalar positivo vezes a métrica euclidiana, garantindo conformidade local.