Mostre que a projeção estereográfica é uma aplicação localmente conforme da esfera no plano.

Passo 1

O que o problema pede e quais dados temos. O enunciado quer que eu mostre que a projeção estereográfica é uma aplicação localmente conforme da esfera para o plano. As informações que vou usar são estas:
  • A esfera unitária em \mathbb{R}^3 é \,S^2=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1\}.
  • O polo norte é N=(0,0,1). A projeção estereográfica \sigma é a aplicação que envia cada ponto P\in S^2\setminus\{N\} para o ponto de interseção da reta NP com o plano z=0.
  • O objetivo é mostrar que, localmente (em todo ponto de S^2 diferente de N), \sigma preserva ângulos, isto é, é conforme: o diferencial de \sigma multiplica produtos escalares por um fator escalar dependente do ponto.

Passo 2

Definir explicitamente a projeção estereográfica e a sua inversa. Para um ponto P=(x,y,z)\in S^2\setminus\{N\} a projeção para o plano z=0 dá coordenadas (u,v)\in\mathbb{R}^2 com a fórmula padrão
(u,v)=\sigma(x,y,z)=\left(\dfrac{x}{1-z},\;\dfrac{y}{1-z}\right).
É mais prático para demonstrar conformidade trabalhar com a inversa \varphi=\sigma^{-1}:\mathbb{R}^2\to S^2\setminus\{N\}. Para (u,v)\in\mathbb{R}^2 denote \rho^2=u^2+v^2 e D=1+\rho^2. A inversa é dada por
\varphi(u,v)=\left(\dfrac{2u}{D},\;\dfrac{2v}{D},\;\dfrac{\rho^2-1}{D}\right).
(Se necessário: essa fórmula provém de intersectar a reta que parte de N=(0,0,1) e passa por (u,v,0) com a esfera; resolvendo para o parâmetro obtém-se s=\dfrac{2}{1+\rho^2}, daí a expressão acima.)

Passo 3

Plano de ataque para provar conformidade. Vou calcular as derivadas parciais \phi_u e \phi_v, formar a primeira forma fundamental (os coeficientes E=\langle\phi_u,\phi_u\rangle, F=\langle\phi_u,\phi_v\rangle, G=\langle\phi_v,\phi_v\rangle) e mostrar que
E=G=\dfrac{4}{D^2}\qquad\text{e}\qquad F=0.
Isso significa que a métrica trazida de S^2 para \mathbb{R}^2 via \varphi vale
\varphi^*(g_{S^2})=\dfrac{4}{D^2}\,(du^2+dv^2),
ou seja, é um escalar positivo \lambda^2=\dfrac{4}{D^2} multiplicando a métrica euclidiana du^2+dv^2 — exactamente a condição de conformidade (ângulos preservados e escalamento isotrópico).

Passo 4

Calcular \phi_u e \phi_v. Começando de D=1+u^2+v^2 e
\varphi(u,v)=\left(\dfrac{2u}{D},\;\dfrac{2v}{D},\;\dfrac{u^2+v^2-1}{D}\right),
aplico a regra do quociente para cada componente. É conveniente escrever as derivadas em forma fatorada:
\phi_u=\dfrac{2}{D^2}\bigl(D-2u^2,\;-2uv,\;2u\bigr),
\phi_v=\dfrac{2}{D^2}\bigl(-2uv,\;D-2v^2,\;2v\bigr).
(Para ver uma componente: por exemplo X(u,v)=2u/D tem X_u=(2D-2u\cdot 2u)/D^2 = 2(D-2u^2)/D^2; as outras são análogas.)

Passo 5

Calcular os produtos escalares necessários. Usando as expressões fatoradas, fator comum \dfrac{4}{D^4} aparece nos produtos:
  • Para E=\langle\phi_u,\phi_u\rangle:
\begin{aligned} \langle\phi_u,\phi_u\rangle &= \dfrac{4}{D^4}\Bigl[(D-2u^2)^2 + (-2uv)^2 + (2u)^2\Bigr]. \end{aligned}
Agora simplifico o colchete: expandindo e reunindo termos observa-se que
(D-2u^2)^2 + 4u^2v^2 + 4u^2 = D^2.
(Detalhe algébrico: (D-2u^2)^2 = D^2 -4u^2D +4u^4 e 4u^4+4u^2v^2+4u^2 = 4u^2(u^2+v^2+1)=4u^2 D; somando dá D^2.)
Portanto
\langle\phi_u,\phi_u\rangle=\dfrac{4}{D^4}\,D^2=\dfrac{4}{D^2}.
  • Por simetria (ou repetindo o cálculo trocando u por v) obtém-se
\langle\phi_v,\phi_v\rangle=\dfrac{4}{D^2}.
  • Para o produto misto F=\langle\phi_u,\phi_v\rangle :
\begin{aligned} \langle\phi_u,\phi_v\rangle &= \dfrac{4}{D^4}\Bigl[(D-2u^2)(-2uv) + (-2uv)(D-2v^2) + (2u)(2v)\Bigr]. \end{aligned}
Simplificando o colchete obtemos zero (os termos se cancelam; calcular os parênteses dá uma soma que se reduz a zero). Assim
\langle\phi_u,\phi_v\rangle=0.

Passo 6

Concluir que a métrica puxada é conformal. Reunindo os resultados
E=G=\dfrac{4}{D^2},\qquad F=0,
logo a primeira forma fundamental (a métrica na coordenada (u,v) trazida de S^2 pela inversa \varphi) é
\varphi^*(g_{S^2})=\dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}\,(du^2+dv^2).
Isto mostra que, em coordenadas (u,v), a métrica da esfera é um fator escalar positivo multiplicando a métrica euclidiana. Essa é precisamente a condição que garante que \varphi (e portanto \sigma=\varphi^{-1}) preservam ângulos localmente: o diferencial leva o produto interno a um múltiplo escalar comum, preservando razões e ângulos entre vetores.

Passo 7

Observações finais e interpretação. A constante conformal (fator de escala) é \lambda^2(u,v)=\dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}, sempre positiva; assim \varphi é conformal e difeomorfismo suave de \mathbb{R}^2 para S^2\setminus\{N\}. Como conformidade é uma propriedade local, a projeção estereográfica \sigma é localmente conforme em todo ponto de S^2 exceto no polo norte N (ali a projeção não está definida). Além disso, essa demonstração fornece também a fórmula explícita do fator conforme.

Resposta

A projeção estereográfica é localmente conforme; explicitamente, se \varphi:\mathbb{R}^2\to S^2\setminus\{N\} é a inversa dada por
\varphi(u,v)=\left(\dfrac{2u}{1+u^2+v^2},\;\dfrac{2v}{1+u^2+v^2},\;\dfrac{u^2+v^2-1}{1+u^2+v^2}\right),
então
\varphi^*(g_{S^2})=\dfrac{4}{(1+u^2+v^2)^2}\,(du^2+dv^2),
ou seja, a métrica da esfera é um fator escalar positivo vezes a métrica euclidiana, garantindo conformidade local.

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