Seja \mathbb{S}^{2}:=\left\{(x, y, z) \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\} uma esfera unitária e seja A: \mathbb{S}^{2} \rightarrow \mathbb{S}^{2} a aplicação antípoda,
A(p)=-p, \text { com } p \in \mathbb{S}^{2} .
Mostre que A é um difeomorfismo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
  • Espaço dado: \mathbb{S}^{2}=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3} \mid x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\}, a esfera unitária em \mathbb{R}^{3}.
  • Aplicação dada: A:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2} definida por A(p)=-p para cada p\in\mathbb{S}^{2}. (Ou seja, A manda cada ponto para o seu antipodal.)
  • O que pedir: mostrar que A é um difeomorfismo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \mathbb{S}^{2} está naturalmente vista como subvariedade suave (subvariedade de dimensão 2) de \mathbb{R}^{3}.
  • A aplicação A é a restrição à esfera da aplicação linear de \mathbb{R}^{3} dada por f(v)=-v.

Passo 2

Lembrando a definição que vamos usar (explicação didática): uma aplicação entre variedades suaves F:M\to N é um difeomorfismo se satisfaz três coisas principais, todas necessárias:
  1. F é bijetiva (injeta e sobrejeta).
  2. F é suave (smooth): em coordenadas locais suas componentes são funções suaves.
  3. A inversa F^{-1} é suave.
Nosso objetivo prático será checar essas três propriedades para A. Se ficar mais claro, uma forma curta é: mostrar que A é bijetiva e que tanto A quanto A^{-1} são restrições de aplicações suaves no ambiente \mathbb{R}^{3}. Vou explicar cada passo com calma.

Passo 3

Mostrar que A é suave.
  • Considere a aplicação linear f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} definida por f(v)=-v. Como f é linear com coeficientes constantes, é uma aplicação suave (na verdade infinitamente diferenciável) em \mathbb{R}^{3}.
  • A esfera \mathbb{S}^{2} é uma subvariedade suave de \mathbb{R}^{3}. A restrição de uma aplicação suave do espaço ambiente a uma subvariedade é suave: isto é, se f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3} é suave então f|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{R}^{3} é suave (verificação local em cartas usa que composições com coordenadas são suaves).
  • Como f envia pontos da esfera em pontos da esfera (isto é, se p\in\mathbb{S}^{2} então \| -p\|=\|p\|=1 e então -p\in\mathbb{S}^{2}), a restrição f|_{\mathbb{S}^{2}} tem imagem contida em \mathbb{S}^{2}. Portanto podemos ver A como A=f|_{\mathbb{S}^{2}}:\mathbb{S}^{2}\to\mathbb{S}^{2}.
  • Conclusão deste passo: A é suave porque é a restrição de uma aplicação suave f do ambiente \mathbb{R}^{3}.
Observação intuitiva: pensar no mapa p\mapsto -p como multiplicar por -1 em \mathbb{R}^{3}; multiplicar por uma constante é tão suave quanto somar e multiplicar números — portanto suave.

Passo 4

Mostrar que A é bijetiva e identificar a inversa; depois verificar suavidade da inversa.
  • Calcule A\circ A. Para qualquer p\in\mathbb{S}^{2}, (A\circ A)(p)=A(A(p))=A(-p) = -(-p)=p.Logo A\circ A=\mathrm{id}_{\mathbb{S}^{2}}.
  • A igualdade A\circ A=\mathrm{id} implica imediatamente que A é bijetiva e que A^{-1}=A (ou seja, A é sua própria inversa).
  • Já mostramos no Passo 3 que A é suave; como A^{-1}=A, a inversa também é suave (é a mesma aplicação já conhecida como suave).
  • Portanto A satisfaz: bijetividade, suavidade e suavidade da inversa.
Comentário pedagógico: muitas vezes, quando uma aplicação é involutiva ( A^2=\mathrm{id}), isso já garante bijetividade e devolve a inversa de forma imediata — muito prático na prova.

Passo 5

(Complemento) Mostrar de forma alternativa / dar intuição com o diferencial — útil para entender localmente o que acontece.
  • O diferencial de f:\mathbb{R}^{3}\to\mathbb{R}^{3}, Df, é simplesmente a matriz -I_{3} (a multiplicação por -1 é linear). Para A visto como restrição, o diferencial em um ponto p\in\mathbb{S}^{2} é a restrição de Df às tangentes: dA_{p}:T_{p}\mathbb{S}^{2}\to T_{-p}\mathbb{S}^{2},\qquad dA_{p}(v)=-v.
  • Lembre que T_{p}\mathbb{S}^{2}=\{v\in\mathbb{R}^{3}\mid v\cdot p=0\}. Se v\cdot p=0 então (-v)\cdot(-p)=v\cdot p=0, então -v\in T_{-p}\mathbb{S}^{2}; assim dA_{p} de fato manda tangentes em tangentes.
  • O mapa linear dA_{p} é invertível (é -\mathrm{Id} no espaço tangente), portanto A é um difeomorfismo local em cada ponto. Isso dá intuição: A é localmente (em cartas) um difeomorfismo e já sabemos que globalmente é bijetiva com inversa suave, então é difeomorfismo global.
Esta verificação do diferencial não era estritamente necessária para provar que A é um difeomorfismo (já foi provado pelos passos anteriores), mas ajuda a entender a propriedade diferencial e mostra que o mapa é também uma isomorfia linear em cada espaço tangente.

Passo 6

Conclusão final do raciocínio (resumindo e reforçando de forma amigável):
  • A é a restrição à esfera de uma aplicação linear suave f(v)=-v em \mathbb{R}^{3}; logo A é suave.
  • A\circ A=\mathrm{id}_{\mathbb{S}^{2}} implica que A é bijetiva e que A^{-1}=A, logo a inversa é suave.
  • Assim A é bijetiva, suave e tem inversa suave; portanto A é um difeomorfismo.
Força aí: a ideia central é que “virar o sinal” é uma operação linear muito simples, então tudo fica suave e reversível — na prova, explique exatamente como mostrei: restrição de f(v)=-v e A\circ A=\mathrm{id}.

Resposta

A é um difeomorfismo.

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