Seja
uma esfera unitária e seja
a aplicação antípoda,
Mostre que
é um difeomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
- Espaço dado:
, a esfera unitária em . - Aplicação dada:
definida por para cada . (Ou seja, manda cada ponto para o seu antipodal.) - O que pedir: mostrar que
é um difeomorfismo.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
está naturalmente vista como subvariedade suave (subvariedade de dimensão 2) de . - A aplicação
é a restrição à esfera da aplicação linear de dada por .
Passo 2
Lembrando a definição que vamos usar (explicação didática): uma aplicação entre variedades suaves
é um difeomorfismo se satisfaz três coisas principais, todas necessárias:
-
é bijetiva (injeta e sobrejeta). -
é suave (smooth): em coordenadas locais suas componentes são funções suaves. - A inversa
é suave.
Nosso objetivo prático será checar essas três propriedades para
. Se ficar mais claro, uma forma curta é: mostrar que
é bijetiva e que tanto
quanto
são restrições de aplicações suaves no ambiente
. Vou explicar cada passo com calma.
Passo 3
Mostrar que
é suave.
- Considere a aplicação linear
definida por . Como é linear com coeficientes constantes, é uma aplicação suave (na verdade infinitamente diferenciável) em . - A esfera
é uma subvariedade suave de . A restrição de uma aplicação suave do espaço ambiente a uma subvariedade é suave: isto é, se é suave então é suave (verificação local em cartas usa que composições com coordenadas são suaves). - Como
envia pontos da esfera em pontos da esfera (isto é, se então e então ), a restrição tem imagem contida em . Portanto podemos ver como . - Conclusão deste passo:
é suave porque é a restrição de uma aplicação suave do ambiente .
Observação intuitiva: pensar no mapa
como multiplicar por
em
; multiplicar por uma constante é tão suave quanto somar e multiplicar números — portanto suave.
Passo 4
Mostrar que
é bijetiva e identificar a inversa; depois verificar suavidade da inversa.
- Calcule
. Para qualquer , Logo . - A igualdade
implica imediatamente que é bijetiva e que (ou seja, é sua própria inversa). - Já mostramos no Passo 3 que
é suave; como , a inversa também é suave (é a mesma aplicação já conhecida como suave). - Portanto
satisfaz: bijetividade, suavidade e suavidade da inversa.
Comentário pedagógico: muitas vezes, quando uma aplicação é involutiva (
), isso já garante bijetividade e devolve a inversa de forma imediata — muito prático na prova.
Passo 5
(Complemento) Mostrar de forma alternativa / dar intuição com o diferencial — útil para entender localmente o que acontece.
- O diferencial de
, , é simplesmente a matriz (a multiplicação por é linear). Para visto como restrição, o diferencial em um ponto é a restrição de às tangentes: - Lembre que
. Se então , então ; assim de fato manda tangentes em tangentes. - O mapa linear
é invertível (é no espaço tangente), portanto é um difeomorfismo local em cada ponto. Isso dá intuição: é localmente (em cartas) um difeomorfismo e já sabemos que globalmente é bijetiva com inversa suave, então é difeomorfismo global.
Esta verificação do diferencial não era estritamente necessária para provar que
é um difeomorfismo (já foi provado pelos passos anteriores), mas ajuda a entender a propriedade diferencial e mostra que o mapa é também uma isomorfia linear em cada espaço tangente.
Passo 6
Conclusão final do raciocínio (resumindo e reforçando de forma amigável):
-
é a restrição à esfera de uma aplicação linear suave em ; logo é suave. -
implica que é bijetiva e que , logo a inversa é suave. - Assim
é bijetiva, suave e tem inversa suave; portanto é um difeomorfismo.
Força aí: a ideia central é que “virar o sinal” é uma operação linear muito simples, então tudo fica suave e reversível — na prova, explique exatamente como mostrei: restrição de
e
.