(a) Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
(b) Determine os valores de aderência da sequência
tal que
e
. A sequência (
) converge? Justifique sua resposta.
(b) Determine os valores de aderência da sequência
Passo 1
O enunciado tem duas partes distintas:
(a) Dado que uma sequência é limitada, provar que ela converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é limitada. O que se pede: demonstrar a equivalência entre “convergir” e “ter único valor de aderência”.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é limitada. O que se pede: demonstrar a equivalência entre “convergir” e “ter único valor de aderência”.
(b) A sequência
é dada por
e
. Pedem-se:
- Determinar os valores de aderência (os limites de todas as subsequências convergentes).
- Dizer se
converge, com justificativa.
Passo 2
Vamos fixar definições e fatos que usaremos (explicados de forma simples):
-
Definição de convergência: A sequência
converge para se, para todo , existe tal que para todo vale . Intuitivamente: todos os termos ficam arbitrariamente próximos de a partir de algum índice. -
Definição de subsequência: Uma subsequência é uma sequência da forma
onde . Uma subsequência pega termos da sequência original em índices crescentes. -
Definição de valor de aderência (ponto de acumulação): Um número real
é valor de aderência de se existe uma subsequência que converge para . Ou seja, é limite de alguma subsequência. -
Teorema de Bolzano–Weierstrass (forma que vamos usar): Toda sequência limitada em
tem uma subsequência convergente. Explicação rápida: se os termos não escapam para o infinito (estão contidos num intervalo fechado e limitado), sempre é possível extrair uma subsequência que tenha limite finito. -
Observação útil: Se
converge para , então qualquer subsequência também converge para . Portanto, todo valor de aderência deve ser (não pode haver outro).
Passo 3
Prova da implicação direta: se a sequência limitada
converge, então possui único valor de aderência.
Seja
com
. Tome qualquer subsequência
. Pelo fato básico de sequências, como os termos
tendem para
, os termos da subsequência também tendem para
. Logo toda subsequência converge para
. Isso significa que o único número que é limite de alguma subsequência é
. Portanto o conjunto de valores de aderência é o singleton
. Assim, convergência implica existência de único valor de aderência.
Passo 4
Prova da implicação recíproca: se a sequência limitada tem exatamente um valor de aderência, então ela converge.
Seja
limitada e suponha que o conjunto dos valores de aderência é
(um único ponto
). Queremos provar que
.
Vamos fazer por contradição. Suponha que
não converge para
. Então, pela definição de não convergência, existe
tal que, para todo
, existe
com
Isto significa que há infinitos índices
cujos termos ficam a uma distância pelo menos
de
. Assim podemos construir explicitamente uma subsequência
com
(Construção simples: escolha
com
; depois escolha
com a mesma propriedade; e assim por diante, possível porque existem infinitos tais índices.)
Como a sequência original é limitada, a subsequência
também é limitada. Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, dessa subsequência podemos extrair uma sub-subsequência convergente; isto é, existe uma subsequência
que converge para algum
. Pela construção, para todo
vale
, e passando ao limite obtemos
. Assim
.
Mas
é limite de uma subsequência da sequência original, logo
é um valor de aderência distinto de
. Isso contradiz a hipótese de unicidade do valor de aderência. Portanto nossa suposição de que a sequência não converge para
é falsa. Concluímos que
.
Assim provámos que, para sequências limitadas, ter único valor de aderência implica convergência. Combinado com o passo anterior, obtemos a equivalência desejada.
Passo 5
Agora resolvemos a parte (b): analisar a sequência dada por
Primeiro identifique subsequências óbvias:
-
Subsequência dos termos pares:
. Esta subsequência converge para porque . Logo é um valor de aderência da sequência . -
Subsequência dos termos ímpares:
. Esta subsequência diverge para ; não tem limite finito. Portanto não gera nenhum valor de aderência finito. Em particular, não existe subsequência que converja para um número real diferente de (pelo crescimento dos ímpares).
Agora considere subsequências misturando pares e ímpares. Qualquer subsequência que contenha infinitamente muitos termos pares e os índices pares tendem ao infinito terá uma sub-subsequência de termos pares que tende a
. Portanto qualquer subsequência convergente deve ter seu limite igual a
. Não é possível obter outro limite finito diferente de
.
Conclusão sobre valores de aderência finitos: o único valor de aderência real da sequência é
.
Observação sobre o comportamento não limitado: a subsequência dos ímpares tende a
, logo a sequência
é não limitada (os termos
ficam arbitrariamente grandes). Isso impede a convergência da sequência inteira porque toda sequência convergente em
é necessariamente limitada.
Passo 6
Conclusão final para (b) quanto à convergência: A sequência não converge. Justificativas equivalentes (escolha a mais direta na prova):
- A sequência não é limitada (porque
), e toda sequência convergente em é limitada; logo não pode convergir. - Alternativamente, existe uma subsequência que diverge para
(ímpares) e outra que converge para (pares); esse comportamento contradiz a possibilidade de a sequência inteira ter um único limite.
Resposta
(a) Verdadeiro: para uma sequência limitada, ela converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
(b) O único valor de aderência finito é . A sequência
não converge.
(b) O único valor de aderência finito é