(a) Prove que uma sequência limitada converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
(b) Determine os valores de aderência da sequência \left(x_{n}\right) tal que x_{2 n-1}=n e x_{2 n}=\frac{1}{n}. A sequência ( x_{n} ) converge? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado tem duas partes distintas:
(a) Dado que uma sequência é limitada, provar que ela converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
Informações relevantes fornecidas: a sequência é limitada. O que se pede: demonstrar a equivalência entre “convergir” e “ter único valor de aderência”.
(b) A sequência \left(x_n\right) é dada por x_{2n-1}=n e x_{2n}=\dfrac{1}{n}. Pedem-se:
  • Determinar os valores de aderência (os limites de todas as subsequências convergentes).
  • Dizer se \left(x_n\right) converge, com justificativa.

Passo 2

Vamos fixar definições e fatos que usaremos (explicados de forma simples):
  • Definição de convergência: A sequência \left(x_n\right) converge para L se, para todo \epsilon>0, existe N tal que para todo n\ge N vale |x_n-L|<\epsilon. Intuitivamente: todos os termos ficam arbitrariamente próximos de L a partir de algum índice.
  • Definição de subsequência: Uma subsequência é uma sequência da forma \left(x_{n_k}\right) onde n_1<n_2<\cdots. Uma subsequência pega termos da sequência original em índices crescentes.
  • Definição de valor de aderência (ponto de acumulação): Um número real a é valor de aderência de \left(x_n\right) se existe uma subsequência \left(x_{n_k}\right) que converge para a. Ou seja, a é limite de alguma subsequência.
  • Teorema de Bolzano–Weierstrass (forma que vamos usar): Toda sequência limitada em \mathbb{R} tem uma subsequência convergente. Explicação rápida: se os termos não escapam para o infinito (estão contidos num intervalo fechado e limitado), sempre é possível extrair uma subsequência que tenha limite finito.
  • Observação útil: Se \left(x_n\right) converge para L, então qualquer subsequência também converge para L. Portanto, todo valor de aderência deve ser L (não pode haver outro).

Passo 3

Prova da implicação direta: se a sequência limitada \left(x_n\right) converge, então possui único valor de aderência.
Seja \left(x_n\right) com \lim_{n\to\infty} x_n = L. Tome qualquer subsequência \left(x_{n_k}\right). Pelo fato básico de sequências, como os termos x_n tendem para L, os termos da subsequência também tendem para L. Logo toda subsequência converge para L. Isso significa que o único número que é limite de alguma subsequência é L. Portanto o conjunto de valores de aderência é o singleton \{L\}. Assim, convergência implica existência de único valor de aderência.

Passo 4

Prova da implicação recíproca: se a sequência limitada tem exatamente um valor de aderência, então ela converge.
Seja \left(x_n\right) limitada e suponha que o conjunto dos valores de aderência é \{L\} (um único ponto L\in\mathbb{R}). Queremos provar que \lim_{n\to\infty} x_n = L.
Vamos fazer por contradição. Suponha que \left(x_n\right) não converge para L. Então, pela definição de não convergência, existe \epsilon_0>0 tal que, para todo N\in\mathbb{N}, existe n\ge N com
|x_n - L| \ge \epsilon_0.
Isto significa que há infinitos índices n cujos termos ficam a uma distância pelo menos \epsilon_0 de L. Assim podemos construir explicitamente uma subsequência \left(x_{n_k}\right) com
|x_{n_k}-L| \ge \epsilon_0 \quad\text{para todo }k.
(Construção simples: escolha n_1 com |x_{n_1}-L|\ge\epsilon_0; depois escolha n_2>n_1 com a mesma propriedade; e assim por diante, possível porque existem infinitos tais índices.)
Como a sequência original é limitada, a subsequência \left(x_{n_k}\right) também é limitada. Pelo teorema de Bolzano–Weierstrass, dessa subsequência podemos extrair uma sub-subsequência convergente; isto é, existe uma subsequência \left(x_{n_{k_j}}\right) que converge para algum M\in\mathbb{R}. Pela construção, para todo j vale |x_{n_{k_j}}-L|\ge\epsilon_0, e passando ao limite obtemos |M-L|\ge\epsilon_0>0. Assim M\neq L.
Mas M é limite de uma subsequência da sequência original, logo M é um valor de aderência distinto de L. Isso contradiz a hipótese de unicidade do valor de aderência. Portanto nossa suposição de que a sequência não converge para L é falsa. Concluímos que \lim_{n\to\infty} x_n = L.
Assim provámos que, para sequências limitadas, ter único valor de aderência implica convergência. Combinado com o passo anterior, obtemos a equivalência desejada.

Passo 5

Agora resolvemos a parte (b): analisar a sequência dada por
x_{2n-1}=n \quad\text{e}\quad x_{2n}=\frac{1}{n}.
Primeiro identifique subsequências óbvias:
  • Subsequência dos termos pares: \left(x_{2n}\right)_{n\ge1} = \left(\dfrac{1}{n}\right)_{n\ge1}. Esta subsequência converge para 0 porque \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{n}=0. Logo 0 é um valor de aderência da sequência \left(x_n\right).
  • Subsequência dos termos ímpares: \left(x_{2n-1}\right)_{n\ge1} = \left(n\right)_{n\ge1}. Esta subsequência diverge para +\infty; não tem limite finito. Portanto não gera nenhum valor de aderência finito. Em particular, não existe subsequência que converja para um número real >0 diferente de 0 (pelo crescimento dos ímpares).
Agora considere subsequências misturando pares e ímpares. Qualquer subsequência que contenha infinitamente muitos termos pares e os índices pares tendem ao infinito terá uma sub-subsequência de termos pares que tende a 0. Portanto qualquer subsequência convergente deve ter seu limite igual a 0. Não é possível obter outro limite finito diferente de 0.
Conclusão sobre valores de aderência finitos: o único valor de aderência real da sequência é 0.
Observação sobre o comportamento não limitado: a subsequência dos ímpares tende a +\infty, logo a sequência \left(x_n\right) é não limitada (os termos x_{2n-1}=n ficam arbitrariamente grandes). Isso impede a convergência da sequência inteira porque toda sequência convergente em \mathbb{R} é necessariamente limitada.

Passo 6

Conclusão final para (b) quanto à convergência: A sequência não converge. Justificativas equivalentes (escolha a mais direta na prova):
  • A sequência não é limitada (porque x_{2n-1}=n\to+\infty), e toda sequência convergente em \mathbb{R} é limitada; logo não pode convergir.
  • Alternativamente, existe uma subsequência que diverge para +\infty (ímpares) e outra que converge para 0 (pares); esse comportamento contradiz a possibilidade de a sequência inteira ter um único limite.

Resposta

(a) Verdadeiro: para uma sequência limitada, ela converge se, e somente se, possui um único valor de aderência.
(b) O único valor de aderência finito é \{0\}. A sequência \left(x_n\right) não converge.

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