P 8.12. Seja
um espaço linear de dimensão finita e
uma transformação linear de
em
. Pode
ser injectiva mas não sobrejectiva? Pode
ser sobrejectiva mas não injectiva?
Passo 1
O enunciado considera um espaço vetorial
de dimensão finita e uma transformação linear
. Pergunta (i) se é possível
ser injetora sem ser sobrejetora e (ii) se é possível
ser sobrejetora sem ser injetora. Vamos usar o teorema da dimensão (rank-nullity).
Passo 2
O teorema do núcleo e da imagem (rank-nullity) afirma que para toda transformação linear
vale
Passo 3
Se
é injetora, então
e portanto
. Daí
o que implica
. Logo
é sobrejetora.
Passo 4
Se
é sobrejetora, então
e
. Pelo teorema do passo 2 segue
ou seja
, e portanto
é injetora.
Passo 5
Concluímos que, em espaço de dimensão finita, injetividade e sobrejetividade são equivalentes para transformações lineares
. Não há como ter apenas uma sem a outra.
Resposta
Não. Em dimensão finita, uma transformação linear é injetora se e somente se é sobrejetora, e vice-versa.