P 8.12. Seja V um espaço linear de dimensão finita e T: V V uma transformação linear de V em V. Pode T ser injectiva mas não sobrejectiva? Pode T ser sobrejectiva mas não injectiva?

Passo 1

O enunciado considera um espaço vetorial V de dimensão finita e uma transformação linear T: V to V. Pergunta (i) se é possível T ser injetora sem ser sobrejetora e (ii) se é possível T ser sobrejetora sem ser injetora. Vamos usar o teorema da dimensão (rank-nullity).

Passo 2

O teorema do núcleo e da imagem (rank-nullity) afirma que para toda transformação linear T: V to V vale
dim V ;=;dim(ker T);+;dim(Im T)

Passo 3

Se T é injetora, então ker T=0 e portanto dim(ker T)=0. Daí
dim(Im T)=dim V-0=dim V,
o que implica Im T=V. Logo T é sobrejetora.

Passo 4

Se T é sobrejetora, então Im T=V e dim(Im T)=dim V. Pelo teorema do passo 2 segue
dim(ker T)=dim V-dim(Im T)=0,
ou seja ker T=0, e portanto T é injetora.

Passo 5

Concluímos que, em espaço de dimensão finita, injetividade e sobrejetividade são equivalentes para transformações lineares Vto V. Não há como ter apenas uma sem a outra.

Resposta

Não. Em dimensão finita, uma transformação linear é injetora se e somente se é sobrejetora, e vice-versa.

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