Mostre que:
Mostre que a soma de três inteiros positivos e consecutivos é um número composto.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a soma de três inteiros positivos e consecutivos é sempre um número composto.
Informações dadas:
  • Três inteiros positivos e consecutivos (ou seja, números do tipo primeiro, segundo e terceiro, cada um 1 unidade maior que o anterior).
  • Objetivo: mostrar que a soma desses três números não é primo, isto é, é um número composto.

Passo 2

Vamos chamar o primeiro desses inteiros de n, com n\in\mathbb{Z} e n\ge 1 (porque são inteiros positivos). Então os três inteiros consecutivos são
n,\qquad n+1,\qquad n+2.

Passo 3

Calculemos a soma desses três inteiros. Colocamos isso em uma equação para ficar claro:
S = n + (n+1) + (n+2).

Passo 4

Efetuando as somas termo a termo:
S = n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3.

Passo 5

Fatoramos o resultado para ver se tem fatores evidentes:
S = 3n + 3 = 3(n+1).
Ou seja, a soma é exatamente o produto de 3 por n+1.

Passo 6

Relembrando o que é um número composto: um inteiro maior que 1 é composto se existe uma fatoração não trivial dele, isto é, se pode ser escrito como produto de dois inteiros ambos maiores que 1.
Aqui temos S = 3(n+1). Como n\ge 1, temos n+1\ge 2. Portanto os dois fatores 3 e n+1 são ambos maiores que 1. Logo S tem uma fatoração não trivial.

Passo 7

Concluímos que para todo inteiro positivo n a soma S é um produto de dois inteiros maiores que 1, ou seja, S é composto. Exemplos para fixar a ideia: para n=1 a soma é 1+2+3=6=3\cdot2 (composto); para n=4 a soma é 4+5+6=15=3\cdot5 (composto).

Resposta

A soma de três inteiros positivos consecutivos é sempre um número composto.

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