Mostre que:
Mostre que a soma de três inteiros positivos e consecutivos é um número composto.
Mostre que a soma de três inteiros positivos e consecutivos é um número composto.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a soma de três inteiros positivos e consecutivos é sempre um número composto.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Três inteiros positivos e consecutivos (ou seja, números do tipo primeiro, segundo e terceiro, cada um 1 unidade maior que o anterior).
- Objetivo: mostrar que a soma desses três números não é primo, isto é, é um número composto.
Passo 2
Vamos chamar o primeiro desses inteiros de
, com
e
(porque são inteiros positivos). Então os três inteiros consecutivos são
Passo 3
Calculemos a soma desses três inteiros. Colocamos isso em uma equação para ficar claro:
Passo 4
Efetuando as somas termo a termo:
Passo 5
Fatoramos o resultado para ver se tem fatores evidentes:
Ou seja, a soma é exatamente o produto de
por
.
Passo 6
Relembrando o que é um número composto: um inteiro maior que
é composto se existe uma fatoração não trivial dele, isto é, se pode ser escrito como produto de dois inteiros ambos maiores que
.
Aqui temos
. Como
, temos
. Portanto os dois fatores
e
são ambos maiores que
. Logo
tem uma fatoração não trivial.
Passo 7
Concluímos que para todo inteiro positivo
a soma
é um produto de dois inteiros maiores que
, ou seja,
é composto. Exemplos para fixar a ideia: para
a soma é
(composto); para
a soma é
(composto).
Resposta
A soma de três inteiros positivos consecutivos é sempre um número composto.