Mostre que psi100(r, theta, phi), psi210(r, theta, phi) e psi21-1(r, theta, phi) para o átomo de hidrogênio são normalizadas e ortogonais entre si.

Passo 1

Beleza, o exercício pede para mostrarmos que os três orbitais do hidrogênio
psi100(r,theta,phi), psi210(r,theta,phi)e psi21,-1(r,theta,phi)
são normalizados e ortogonais entre si. O tema aqui é Mecânica Quântica, mais precisamente as funções de onda do átomo de hidrogênio em coordenadas esféricas. Para resolver, a gente vai precisar de:
A) Expressar cada psinell m(r,theta,phi) como produto da parte radial Rnell(r) e da parte angular Yell^m(theta,phi).
B) Saber que a condição de normalização é
integral |psi|^2,dtau=1
e que a ortogonalidade geral vem de
integral psin'ell'm'^*(r,theta,phi),psinell m(r,theta,phi),dtau = 0se $(n,ell,m)neq(n',ell',m')$
C) Usar o elemento de volume em coordenadas esféricas dtau = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi e as propriedades de ortonormalidade dos harmônicos esféricos
integral Yell'^m'*(theta,phi),Yell^m(theta,phi),dOmega = de

Passo 2

Vamos à estrutura geral das ondas:
psinell m(r,theta,phi)=Rnell(r);Yell^m(theta,phi),
Então
$$\int \psi_{n’\ell’m’}^*,\psi_{n\ell m},d\tau
=\int_0^\infty R_{n’\ell’}*®,R_{n\ell}®,r2dr;\times;\int Y_{\ell’}{m’*}(\theta,\phi),Y_\ellm(\theta,\phi),d\Omega,. integral psin'ell'm'^*,psinell m,dtau =integral0^infty Rn'ell'^*(r),Rnell(r),r^2dr;times;integral Yell'^m'*(theta,phi),Yell^m(theta,phi),dOmega, óãí\int_0^\infty R_{n\ell}*®,R_{n’\ell}®,r2,dr = \delta_{nn’}$$
se os Yell^m também estiverem normalizados.

Passo 3

Normalização de psi100
  1. Identidade das partes:$$R_{10}®=2\Bigl(\tfrac1{a_0}\Bigr){3/2}e{-r/a_0},\qquadY_0^0(\theta,\phi)=\frac1{\sqrt{4\pi}},. R10(r)=2l(tfrac1a0r)^3/2e^-r/a0, Y0^0(theta,phi)=1raiz4pi, çã\int|\psi_{100}|^2,d\tau=\int_0\infty\Bigl|2a_0{-3/2}e{-r/a_0}\Bigr|2r2dr;\times;\int|Y_00|^2d\Omega,. integral|psi100|^2,dtau =integral0^inftyl|2a0^-3/2e^-r/a0r|^2r^2dr;times;integral|Y0^0|^2dOmega, 4a_0{-3}\int_0\infty r2e{-2r/a_0}dr=4a_0{-3}\times\frac{2!}{(2/a_0)3}=4a_0{-3}\times\frac{2}{8/a_03}=1. 4a0^-3integral0^infty r^2e^-2r/a0dr =4a0^-3times2!(2/a0)^3 =4a0^-3times28/a0^3=1\int|Y_00|2d\Omega=\frac1{4\pi}\int_0{2\pi}d\phi\int_0\pi\sin\theta,d\theta=1.$$Logo integral|Y0^0|^2dOmega=14piintegral0^2pidphiintegral0^pisintheta,dtheta=1.

Passo 4

Normalização de psi210 e psi21,-1
As duas têm a mesma parte radial (com n=2,ell=1):
R21(r)=12raiz6,a0^3/2; ra0;e^-r/(2a0),
e harmônicos
$$Y_1^0(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\quad
Y_1{-1}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta,e{-i\phi}. Y1^0(theta,phi)=raiz34picostheta, Y1^-1(theta,phi)=raiz38pisintheta,e^-iphiáéáé\int|\psi_{210}|2d\tau=\int|\psi_{21,-1}|2d\tau=1.$$

Passo 5

Ortonormalidade entre os três estados
  1. Entre psi100 (ℓ=0) e qualquer psi21m (ℓ=1):
    a parte angular envolve integral Y0^0*,Y1^m,dOmega=0
    porque ℓ é diferente → integral se anula.
    2) Entre psi210 (m=0) e psi21,-1 (m=–1):
    integral Y1^0*(theta,phi),Y1^-1(theta,phi),dOmega=0pois m é diferente → integral angular zero.
  2. Relação radial não interfere: quando o angular anula, o produto inteiro anula.

Resposta

Portanto, confirmamos que
  1. Cada psi100, psi210 e psi21,-1 é normalizada ( integral|psi|^2dtau=1).
  2. Qualquer par distinto é ortogonal ( integralpsi^*n'ell'm',psinell m,dtau=0).

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