Mostre que
e
para o átomo de hidrogênio são normalizadas e ortogonais entre si.
Passo 1
Beleza, o exercício pede para mostrarmos que os três orbitais do hidrogênio
são normalizados e ortogonais entre si. O tema aqui é Mecânica Quântica, mais precisamente as funções de onda do átomo de hidrogênio em coordenadas esféricas. Para resolver, a gente vai precisar de:
A) Expressar cada
B) Saber que a condição de normalização é
e que a ortogonalidade geral vem de
C) Usar o elemento de volume em coordenadas esféricas
Passo 2
Vamos à estrutura geral das ondas:
Então
$$\int \psi_{n’\ell’m’}^*,\psi_{n\ell m},d\tau
=\int_0^\infty R_{n’\ell’}*®,R_{n\ell}®,r2dr;\times;\int Y_{\ell’}{m’*}(\theta,\phi),Y_\ellm(\theta,\phi),d\Omega,.
\int_0^\infty R_{n\ell}*®,R_{n’\ell}®,r2,dr = \delta_{nn’}$$
se os
também estiverem normalizados.
Passo 3
Normalização de
- Identidade das partes:$$R_{10}®=2\Bigl(\tfrac1{a_0}\Bigr){3/2}e{-r/a_0},\qquadY_0^0(\theta,\phi)=\frac1{\sqrt{4\pi}},.
\int|\psi_{100}|^2,d\tau=\int_0\infty\Bigl|2a_0{-3/2}e{-r/a_0}\Bigr|2r2dr;\times;\int|Y_00|^2d\Omega,. 4a_0{-3}\int_0\infty r2e{-2r/a_0}dr=4a_0{-3}\times\frac{2!}{(2/a_0)3}=4a_0{-3}\times\frac{2}{8/a_03}=1. \int|Y_00|2d\Omega=\frac1{4\pi}\int_0{2\pi}d\phi\int_0\pi\sin\theta,d\theta=1.$$Logo .
Passo 4
Normalização de
e
As duas têm a mesma parte radial (com ):
As duas têm a mesma parte radial (com
e harmônicos
$$Y_1^0(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\cos\theta,\quad
Y_1{-1}(\theta,\phi)=\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\sin\theta,e{-i\phi}.
\int|\psi_{210}|2d\tau=\int|\psi_{21,-1}|2d\tau=1.$$
Passo 5
Ortonormalidade entre os três estados
- Entre
(ℓ=0) e qualquer (ℓ=1):
a parte angular envolve
porque ℓ é diferente → integral se anula.
2) Entre(m=0) e (m=–1):
pois m é diferente → integral angular zero. - Relação radial não interfere: quando o angular anula, o produto inteiro anula.
Resposta
Portanto, confirmamos que
- Cada
, e é normalizada ( ). - Qualquer par distinto é ortogonal (
).