Verifique se ( S,+, cdot ) é um subcorpo de ( R,+, cdot ) em cada um dos seguintes casos:
c) S=a+b raiz[3]3 mid a, b in Q
(OBS.: S é um subcorpo de K quando ambos são corpos e S subset K )

Passo 1

O enunciado define
S = ,a + braiz[3]3 mid a,bin Q
e pergunta se S é um subcorpo de (R,+,cdot).
Para ser subcorpo, S deve ser fechado em soma, produto e formação de inversos (exceto de zero), e conter 0 e 1.

Passo 2

Verificamos rapidamente a soma e o produto genéricos em S. Seja
alpha = raiz[3]3, x = a + balpha, y = c + dalpha,
com a,b,c,dinQ. Então
x + y = (a+c) + (b+d)alphain S,
ou seja, S é fechado em soma. Porém
xcdot y = (a + balpha)(c + dalpha) = ac ;+;(ad+bc),alpha ;+; bd,alpha^2
O termo bd,alpha^2 só fica em S se alpha^2 puder ser escrito na forma u + valpha com u,vinQ.

Passo 3

Mostramos que alpha^2notin S. Suponha, por absurdo, que existam u,vinQ tais que
alpha^2 = u + valpha
Então alpha seria raiz do polinômio quadrático
X^2 - vX - u in Q[X],
o que contradiz o fato de que o polinômio mínimo de alpha=raiz[3]3 sobre Q é
X^3 - 3,
de grau 3 (irredutível por Eisenstein em p=3). Logo alpha^2notin S, e S não é fechado em produto.

Passo 4

Como não há fechamento em produto (nem, consequentemente, em inversos), S falha em ser subcorpo de R.

Resposta

S não é subcorpo de R.

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