Verifique se (
) é um subcorpo de (
) em cada um dos seguintes casos:
c)
(OBS.:
é um subcorpo de
quando ambos são corpos e
)
c)
(OBS.:
Passo 1
O enunciado define
e pergunta se
é um subcorpo de
.
Para ser subcorpo, deve ser fechado em soma, produto e formação de inversos (exceto de zero), e conter
e
.
Para ser subcorpo,
Passo 2
Verificamos rapidamente a soma e o produto genéricos em
. Seja
com
. Então
ou seja,
é fechado em soma. Porém
O termo
só fica em
se
puder ser escrito na forma
com
.
Passo 3
Mostramos que
. Suponha, por absurdo, que existam
tais que
Então
seria raiz do polinômio quadrático
o que contradiz o fato de que o polinômio mínimo de
sobre
é
de grau 3 (irredutível por Eisenstein em
). Logo
, e
não é fechado em produto.
Passo 4
Como não há fechamento em produto (nem, consequentemente, em inversos),
falha em ser subcorpo de
.