Mostre que o quadrado de um inteiro positivo é da forma 4 k ou 4 k+1, sendo k um inteiro. Usando este fato, mostre que nenhum inteiro da sequência 11,111,1111,11111, \ldots é um quadrado perfeito ( é um inteiro x para o qual x=t^{2} para algum t \in \mathbb{Z} ).
Passo 1
O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, para todo inteiro positivo n, o quadrado n^2 ao ser dividido por 4 deixa resto 0 ou 1 (isto é, n^2 é da forma 4k ou 4k+1). Em seguida, usar esse fato para concluir que nenhum dos números da sequência
11, 111, 1111, 11111, \dots
é quadrado perfeito.
Passo 2
Para caracterizar n^2\pmod{4}, usamos o fato de que todo inteiro é par ou ímpar. Seja n\in\mathbb{Z}^+.
Caso A: n é par. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que n=2m. Logo
n^2=(2m)^2=4m^2
e, portanto, n^2 é da forma 4k com k=m^2.
Caso B: n é ímpar. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que n=2m+1. Assim
n^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4\bigl(m^2+m\bigr)+1,
ou seja, n^2 é da forma 4k+1 com k=m^2+m.
Com isso, provamos que todo quadrado inteiro satisfaz