Mostre que o quadrado de um inteiro positivo é da forma 4 k ou 4 k+1, sendo k um inteiro. Usando este fato, mostre que nenhum inteiro da sequência 11,111,1111,11111, \ldots é um quadrado perfeito ( é um inteiro x para o qual x=t^{2} para algum t \in \mathbb{Z} ).

Passo 1

O enunciado pede duas coisas. Primeiro, mostrar que, para todo inteiro positivo n, o quadrado n^2 ao ser dividido por 4 deixa resto 0 ou 1 (isto é, n^2 é da forma 4k ou 4k+1). Em seguida, usar esse fato para concluir que nenhum dos números da sequência
11, 111, 1111, 11111, \dots
é quadrado perfeito.

Passo 2

Para caracterizar n^2\pmod{4}, usamos o fato de que todo inteiro é par ou ímpar. Seja n\in\mathbb{Z}^+.
Caso A: n é par. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que n=2m. Logo
n^2=(2m)^2=4m^2
e, portanto, n^2 é da forma 4k com k=m^2.
Caso B: n é ímpar. Então existe m\in\mathbb{Z} tal que n=2m+1. Assim
n^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1=4\bigl(m^2+m\bigr)+1,
ou seja, n^2 é da forma 4k+1 com k=m^2+m.
Com isso, provamos que todo quadrado inteiro satisfaz
n^2\equiv 0\pmod{4} \quad\text{ou}\quad n^2\equiv 1\pmod{4}.

Passo 3

Agora considere um número da sequência com r algarismos “1”:
R_r = 11\ldots1 \quad(r\text{ vezes}).
Em base decimal,
R_r = \sum_{i=0}^{r-1}10^i.
Como 10\equiv2\pmod{4}, temos \,10^i\equiv2^i\pmod{4}. Note que
2^0\equiv1,\quad 2^1\equiv2,\quad 2^i\equiv0\quad(\forall i\ge2) \quad\text{em }\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}.
Logo, para r\ge2,
R_r \equiv 1 + 2 + \underbrace{0 + 0 + \cdots + 0}_{r-2\text{ termos}}\;=\;3 \pmod{4}.

Passo 4

Como mostramos no Passo 2, todo quadrado inteiro só pode ser congruente a 0 ou a 1 módulo 4. Mas os números R_r têm
R_r\equiv3\pmod{4},
o que nunca coincide com 0 nem com 1. Portanto, nenhum R_r pode ser um quadrado perfeito.

Resposta

Nenhum inteiro da sequência 11,111,1111,11111,\dots é um quadrado perfeito.

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