Determine todos os inteiros postivos múltiplos de 5 que escritos em base 10 , são de três algarimos e cuja soma é 19.

Passo 1

O enunciado pede todos os números inteiros positivos de três algarismos, múltiplos de 5, cuja soma dos algarismos é 19. Para resolver, vamos usar a representação em dígitos na base 10 e a regra de divisibilidade por 5.

Passo 2

Seja o número escrito na forma 100a + 10b + c, onde a,b,c são dígitos em base 10. Como é de três algarismos, temos
1 \le a \le 9,\quad 0 \le b \le 9.
E como é múltiplo de 5, o último dígito satisfaz
c \in \{0,5\}.
Além disso, a soma dos dígitos deve ser
a + b + c = 19.

Passo 3

Analisamos o caso c = 0. Nesse caso, a condição a + b + c = 19 vira
a + b = 19.
Mas como a \le 9 e b \le 9, a soma máxima a+b é 18. Portanto não há solução com c=0.

Passo 4

Agora o caso c = 5. A soma dos dígitos passa a ser
a + b + 5 = 19 \quad\Longrightarrow\quad a + b = 14.
Procuramos pares (a,b) inteiros com 1 \le a \le 9, 0 \le b \le 9 e a+b=14. Os valores possíveis de a vão de 5 a 9, gerando b = 14 - a entre 9 e 5.

Passo 5

Listando as soluções:
para a=5, b=9 → número 595,
para a=6, b=8 → número 685,
para a=7, b=7 → número 775,
para a=8, b=6 → número 865,
para a=9, b=5 → número 955.

Resposta

595685775865955

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