Seja
um inteiro positivo cuja expressão na base
é dada por
onde os algarismos
. Mostre que:
se e somente se,
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para
temos
se e somente se
O conteúdo principal aqui é aritmética modular, em particular a propriedade de que
.
Passo 2
Observamos que, como
, para todo inteiro
vale
Passo 3
Aplicando módulo
à expressão de
, obtemos
Isto mostra que
Passo 4
Da congruência acima segue imediatamente que
se e somente se
Resposta
Fica provado que
exatamente quando
.