Resolva o PVI
l (1+x^2) y^prime+2 x y=f(x) y(0)=0
em que
f(x)=l x, se 0 <= x<1 -x, se x >= 1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI de uma equação diferencial linear de primeira ordem com coeficientes dependentes de x e termo não homogêneo f(x) definido por partes. Vamos usar o método do fator integrante para resolver, já que a equação tem a forma (1+x^2)y'+2xy=f(x) e precisamos do valor inicial y(0)=0.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y'+P(x)y=Q(x). Dividindo tudo por 1+x^2, temos:
y'+2x1+x^2,y=f(x)1+x^2
Aqui P(x)=2x/(1+x^2) e Q(x)=f(x)/(1+x^2).

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx. Como
integral 2x1+x^2,dx=ln(1+x^2),
segue que
mu(x)=e^ln(1+x^2)=1+x^2
Multiplicando a equação original por mu(x) obtém-se
ddxl((1+x^2)yr)=f(x)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados de 0 a x e usamos a condição inicial.
(1+x^2)y-(1+0^2)y(0)=integral0^x f(t),dt
Como y(0)=0, o termo na direita é apenas integral0^x f(t),dt. Logo
y(x)=11+x^2integral0^x f(t),dt

Passo 5

Falta avaliar a integral por partes, pois
f(t)=t,&0<= t<1,-t,&t>=1
Para 0<= x<1, temos
integral0^x f(t),dt=integral0^x t,dt=x^22,
logo
y(x)=x^2/21+x^2=x^22(1+x^2)

Passo 6

Para x>=1, quebramos a integral:
integral0^x f(t),dt=integral0^1 t,dt+integral1^x(-t),dt=12+l(-x^22+12r)=1-x^22
Então
y(x)=1 - x^2/21+x^2=2 - x^22(1+x^2)

Resposta

A solução do PVI é
y(x)= dfracx^22(1+x^2),&0<= x<1,[8pt] dfrac2 - x^22(1+x^2),&x>=1

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