Mostre que para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, tem-se:
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade envolvendo normas e produto interno, que é um caso clássico de expansão do quadrado da diferença de vetores. Vamos usar a definição de norma em termos de produto interno e as propriedades de linearidade e simetria do produto interno.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a norma ao quadrado de um vetor é o produto interno do vetor consigo mesmo. Assim,
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} = \langle \vec{u}-\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\rangle.

Passo 3

Usando a linearidade do produto interno em cada argumento, expandimos:
\langle \vec{u}-\vec{v},\,\vec{u}-\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},\vec{u}\rangle - \langle \vec{u},\vec{v}\rangle - \langle \vec{v},\vec{u}\rangle + \langle \vec{v},\vec{v}\rangle.

Passo 4

Como o produto interno é simétrico, temos \langle \vec{v},\vec{u}\rangle = \langle \vec{u},\vec{v}\rangle. Substituindo e usando ainda \langle \vec{u},\vec{u}\rangle = \|\vec{u}\|^2 e \langle \vec{v},\vec{v}\rangle = \|\vec{v}\|^2, obtemos
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} - \langle \vec{u},\vec{v}\rangle - \langle \vec{u},\vec{v}\rangle + \|\vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} - 2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle + \|\vec{v}\|^{2}.

Resposta

\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}-2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^{2}.

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