Mostre que para quaisquer vetores
e
, tem-se:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade envolvendo normas e produto interno, que é um caso clássico de expansão do quadrado da diferença de vetores. Vamos usar a definição de norma em termos de produto interno e as propriedades de linearidade e simetria do produto interno.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a norma ao quadrado de um vetor é o produto interno do vetor consigo mesmo. Assim,
Passo 3
Usando a linearidade do produto interno em cada argumento, expandimos:
Passo 4
Como o produto interno é simétrico, temos
. Substituindo e usando ainda
e
, obtemos