Mostre que para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, tem-se:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2}=2\left(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede para provar a chamada lei do paralelogramo em um espaço euclidiano, ou seja, mostrar que, para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v}, vale
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} =2\bigl(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}\bigr).
Vamos usar a definição de norma em termos do produto interno: \|\vec{w}\|^{2}=\vec{w}\cdot\vec{w} e as propriedades bilineares do produto interno.

Passo 2

Calculemos primeiro
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} =(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}+\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v} =\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 3

De modo similar,
\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} =(\vec{u}-\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\vec{u}\cdot\vec{u}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{v} =\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 4

Somando as duas expressões obtidas nos passos anteriores, os termos 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} cancelam-se mutuamente:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} =\bigl(\|\vec{u}\|^{2}+2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}\bigr) +\bigl(\|\vec{u}\|^{2}-2\,\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^{2}\bigr) =2\|\vec{u}\|^{2}+2\|\vec{v}\|^{2}.
Fatorando o 2, concluímos a identidade desejada.

Resposta

\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}+\|\vec{u}-\vec{v}\|^{2} =2\bigl(\|\vec{u}\|^{2}+\|\vec{v}\|^{2}\bigr).

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