Mostre que para quaisquer vetores
e
, tem-se:
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial com produto interno, vale a relação de expansão do quadrado da norma para dois vetores
e
:
Para isso, vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e as propriedades de linearidade e simetria desse produto.
Passo 2
Lembramos que a norma de um vetor
é definida por
Logo, calcular
equivale a calcular
.
Passo 3
Escrevemos diretamente a norma ao quadrado de
como produto interno:
Passo 4
Aplicando a propriedade de bilinearidade do produto interno (linear em cada argumento), expandimos:
Passo 5
Como o produto interno é simétrico, temos
. Logo,
Resposta
Portanto, mostramos que para quaisquer vetores
e
vale