Mostre que para quaisquer vetores vec{u} e vec{v}, tem-se:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2}=\|\vec{u}\|^{2}+2\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle+\|\vec{v}\|^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer espaço vetorial com produto interno, vale a relação de expansão do quadrado da norma para dois vetores \vec{u} e \vec{v}:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} = \|\vec{u}\|^{2} +2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle +\|\vec{v}\|^{2}.
Para isso, vamos usar a definição de norma em termos do produto interno e as propriedades de linearidade e simetria desse produto.

Passo 2

Lembramos que a norma de um vetor \vec{x} é definida por
\|\vec{x}\|^{2} = \langle \vec{x},\vec{x}\rangle.
Logo, calcular \|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} equivale a calcular \langle\vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle.

Passo 3

Escrevemos diretamente a norma ao quadrado de \vec{u}+\vec{v} como produto interno:
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} = \langle \vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle.

Passo 4

Aplicando a propriedade de bilinearidade do produto interno (linear em cada argumento), expandimos:
\langle \vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},\vec{u}\rangle +\langle \vec{u},\vec{v}\rangle +\langle \vec{v},\vec{u}\rangle +\langle \vec{v},\vec{v}\rangle.

Passo 5

Como o produto interno é simétrico, temos \langle \vec{v},\vec{u}\rangle=\langle \vec{u},\vec{v}\rangle. Logo,
\langle \vec{u}+\vec{v},\,\vec{u}+\vec{v}\rangle = \langle \vec{u},\vec{u}\rangle +2\,\langle \vec{u},\vec{v}\rangle +\langle \vec{v},\vec{v}\rangle = \|\vec{u}\|^{2} +2\langle \vec{u},\vec{v}\rangle +\|\vec{v}\|^{2}.

Resposta

Portanto, mostramos que para quaisquer vetores \vec{u} e \vec{v} vale
\|\vec{u}+\vec{v}\|^{2} =\|\vec{u}\|^{2} +2\langle\vec{u},\vec{v}\rangle +\|\vec{v}\|^{2}.

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