Sabendo que
\left\|\vec{u}\right\|=5,\left\|\vec{v}\right\|=2,\langle\vec{u}, \vec{v}\rangle=-2,\langle\vec{u}, \vec{w}\rangle=1 \mathrm{e}\langle\vec{v}, \vec{w}\rangle=7, calcule:
\langle 5 \vec{u}-4 \vec{v},-\vec{u}+\vec{w}\rangle.

Passo 1

O enunciado nos dá as normas e produtos internos entre três vetores \vec{u},\vec{v},\vec{w}: \|\vec{u}\|=5, \|\vec{v}\|=2, \langle\vec{u},\vec{v}\rangle=-2, \langle\vec{u},\vec{w}\rangle=1 e \langle\vec{v},\vec{w}\rangle=7.
Pede-se \langle 5\vec{u}-4\vec{v},\,-\vec{u}+\vec{w}\rangle. O conteúdo usado será a bilinearidade do produto interno.

Passo 2

Aplicando bilinearidade e linearidade em cada argumento, temos
\langle 5\vec{u}-4\vec{v},\,-\vec{u}+\vec{w}\rangle =5\,\langle\vec{u},-\vec{u}+\vec{w}\rangle -4\,\langle\vec{v},-\vec{u}+\vec{w}\rangle.

Passo 3

Calculemos o primeiro termo:
\langle\vec{u},-\vec{u}+\vec{w}\rangle =-\langle\vec{u},\vec{u}\rangle+\langle\vec{u},\vec{w}\rangle =-\|\vec{u}\|^2+1 =-25+1=-24.
Multiplicando por 5 5\cdot(-24)=-120.

Passo 4

Agora o segundo termo:
\langle\vec{v},-\vec{u}+\vec{w}\rangle =-\langle\vec{v},\vec{u}\rangle+\langle\vec{v},\vec{w}\rangle =-(-2)+7=2+7=9.
Multiplicando por -4 -4\cdot9=-36.

Passo 5

Somando os dois resultados:
-120 + (-36) = -156.

Resposta

-156

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