Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
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Passo 1
O enunciado pergunta se, para vetores
e
em
, vale sempre
O conteúdo é Álgebra Vetorial, mais exatamente a propriedade de comutatividade do produto vetorial.
Passo 2
Sabemos da definição do produto vetorial que ele é anticomutativo, isto é, para quaisquer vetores
vale a identidade
Esse fato decorre da regra de sinais ao trocar linhas por colunas no determinante que define o produto vetorial.
Passo 3
Para que se tenha
substituímos a anticomutatividade na igualdade e obtemos
Isto implica
Passo 4
O produto vetorial
é o vetor nulo exatamente quando
e
são paralelos (ou quando um deles é o vetor nulo). Logo, a igualdade só ocorre nesses casos.
Resposta
A igualdade
não é sempre verdadeira. Ela ocorre se e só se
, isto é, quando
e
são paralelos (ou quando um dos vetores é nulo).