Quais das igualdades a seguir são sempre verdadeiras? Quais nem sempre são verdadeiras? Justifique.
\vec{u} \times \vec{v}=\vec{v} \times \vec{u}.

Passo 1

O enunciado pergunta se, para vetores \vec{u} e \vec{v} em \mathbb{R}^3, vale sempre
\vec{u}\times\vec{v} = \vec{v}\times\vec{u}.
O conteúdo é Álgebra Vetorial, mais exatamente a propriedade de comutatividade do produto vetorial.

Passo 2

Sabemos da definição do produto vetorial que ele é anticomutativo, isto é, para quaisquer vetores \vec{u},\vec{v} vale a identidade
\vec{u}\times\vec{v} = -\,\bigl(\vec{v}\times\vec{u}\bigr).
Esse fato decorre da regra de sinais ao trocar linhas por colunas no determinante que define o produto vetorial.

Passo 3

Para que se tenha
\vec{u}\times\vec{v} = \vec{v}\times\vec{u},
substituímos a anticomutatividade na igualdade e obtemos
\vec{u}\times\vec{v} = -\,\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr).
Isto implica
2\,\bigl(\vec{u}\times\vec{v}\bigr) = \vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{u}\times\vec{v} = \vec{0}.

Passo 4

O produto vetorial \vec{u}\times\vec{v} é o vetor nulo exatamente quando \vec{u} e \vec{v} são paralelos (ou quando um deles é o vetor nulo). Logo, a igualdade só ocorre nesses casos.

Resposta

A igualdade \vec{u}\times\vec{v}=\vec{v}\times\vec{u} não é sempre verdadeira. Ela ocorre se e só se \vec{u}\times\vec{v}=\vec{0}, isto é, quando \vec{u} e \vec{v} são paralelos (ou quando um dos vetores é nulo).

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