Mostre que qualquer aplicação injetora T: ell1 ellp não pode ter imagem fechada se 1<p<+infty.

Passo 1

O enunciado nos dá um operador linear injetor T:ell1toellp com 1<p<infty, e pede para mostrar que Im(T) não pode ser um subespaço fechado de ellp. Vamos usar o fato de que ell1 não é reflexivo, enquanto ellp (para 1<p<infty) é reflexivo, e que subespaços fechados de espaços reflexivos são reflexivos.

Passo 2

Sabemos que ellp é reflexivo sempre que 1<p<infty. Em particular, seu subespaço fechado
Im(T)subseteqellp
seria também reflexivo, já que toda subvariedade fechada de um espaço reflexivo herda a reflexividade.

Passo 3

Se Im(T) fosse fechado em ellp, então T:ell1toIm(T) seria um isomorfismo de Banach (bijetivo contínuo com inversa contínua). Logo ell1 seria isomorfo a Im(T).

Passo 4

Como reflexividade é preservada por isomorfismos de Banach, isso implicaria que ell1 é reflexivo. Mas é fato clássico que ell1 não é reflexivo.

Passo 5

Chegamos a uma contradição. Portanto Im(T) não pode ser fechado em ellp.

Resposta

Não existe aplicação linear injetora T:ell1toellp com 1<p<infty cuja imagem seja um subespaço fechado de ellp.

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