Mostre que qualquer aplicação injetora
não pode ter imagem fechada se
.
Passo 1
O enunciado nos dá um operador linear injetor
com
, e pede para mostrar que
não pode ser um subespaço fechado de
. Vamos usar o fato de que
não é reflexivo, enquanto
(para
) é reflexivo, e que subespaços fechados de espaços reflexivos são reflexivos.
Passo 2
Sabemos que
é reflexivo sempre que
. Em particular, seu subespaço fechado
seria também reflexivo, já que toda subvariedade fechada de um espaço reflexivo herda a reflexividade.
Passo 3
Se
fosse fechado em
, então
seria um isomorfismo de Banach (bijetivo contínuo com inversa contínua). Logo
seria isomorfo a
.
Passo 4
Como reflexividade é preservada por isomorfismos de Banach, isso implicaria que
é reflexivo. Mas é fato clássico que
não é reflexivo.
Passo 5
Chegamos a uma contradição. Portanto
não pode ser fechado em
.
Resposta
Não existe aplicação linear injetora
com
cuja imagem seja um subespaço fechado de
.