Seja P2 o espaço linear real dos polinómios reais de uma varíavel real t de grau menor ou igual 2 . Considere a transformação linear T: P2 P2 que em relação à base 1, t, t^2 é representada pela matriz
A=(crr 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 10 & -4 & 4 )
(a) Determine os valores próprios e vectores próprios de T.
(b) Diga, justificando, se T possui ou não uma representação matricial diagonal em relação a alguma base de P2.

Passo 1

O enunciado define T:P2toP2 cuja matriz na base 1,t,t^2 é
A= 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 10 & -4 & 4
Queremos encontrar os valores próprios (autovalores) e vetores próprios (autovetores) de T, e decidir se T é diagonalizável.

Passo 2

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
det(A-lambda I) =det -lambda & 0 & 0 0 & -lambda & 1 10 & -4 & 4-lambda
Expandindo pela primeira linha só resta
-lambdadet-lambda & 1-4 & 4-lambda =-lambdal((-lambda)(4-lambda)-1cdot(-4)r)

Passo 3

Simplificando dentro do parêntese:
(-lambda)(4-lambda)+4=lambda^2-4lambda+4=(lambda-2)^2
Logo o polinômio característico é
-lambda(lambda-2)^2=0,
cuja raiz dá lambda=0 (multiplicidade algébrica 1) e lambda=2 (multiplicidade algébrica 2).

Passo 4

Eigenspace para lambda=0: resolvemos A,x=0. Das equações
x3=0, 10x1-4x2=0implies x2=tfrac52x1,
vem o espaço unidimensional gerado por x=(2,5,0)^T. Em termos de polinômio isso é
p0(t)=2+5t

Passo 5

Eigenspace para lambda=2: resolvemos (A-2I)x=0. Das equações
-2x1=0implies x1=0, -2x2+x3=0implies x3=2x2,
vem o espaço unidimensional gerado por x=(0,1,2)^T. Em polinômios:
p2(t)=t+2t^2

Passo 6

O autovalor lambda=2 tem multiplicidade algébrica 2, mas o espaço próprio associado tem dimensão 1. Como a multiplicidade geométrica é menor que a algébrica, T não é diagonalizável.

Resposta

Autovalores: lambda=0 e lambda=2 (dupla).
Autovetor para lambda=0: p0(t)=2+5t.
Autovetor para lambda=2: p2(t)=t+2t^2.
T não é diagonalizável.

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