a) Verifique a norma usual do dual de um espaço de Hilbert também provém de produto interno (então o dual de um espaço de Hilbert também é um espaço de Hilbert). Sugestão: Defina <f, g>=<R^-1 g, R^-1 f>, sendo R a aplicação de Riesz.
b) Prove que todo espaço de Hilbert é refexivo. Sugestão: Mostre que a inclusão canônica é a compostas das aplicações de Riesz.

Passo 1

O enunciado trata de um espaço de Hilbert H real (ou complexo) com aplicação de Riesz
R: H to H^*, R(x)(y)=lang<= y,xrang<=H,
e pede:
a) Mostrar que em H^* existe um produto interno que gera a norma usual do dual, tornando H^* também um espaço de Hilbert.
b) Provar que H é reflexivo, ou seja, a inclusão canônica
J: H to H^**, J(x)(f)=f(x),
é um isomorfismo isométrico, usando as aplicações de Riesz.

Passo 2

Construímos em H^* o produto interno
lang<= f,grang<=H^*;=;lang<= R^-1g,;R^-1frang<=H
Verificamos que ele é bilinear (ou sesquilinear no caso complexo), simétrico (ou hermitiano) e definido-positivo, pois se fneq0 então R^-1fneq0 e
lang<= f,frang<=H^*=|R^-1f|H^2>0

Passo 3

Mostramos que a norma induzida por este produto interno coincide com a norma operador usual em H^*. De fato, para fin H^* temos
|f|H^*=sup|x|H=1|f(x)|=sup|x|H=1|lang<= x,R^-1frang<=H|=|R^-1f|H
pela caracterização do operador de Riesz. Mas pelo produto em bloco
|f|H^*^2=lang<= f,frang<=H^*=|R^-1f|H^2,
logo normais coincidem.

Passo 4

Como H é completo e R é um isomorfismo bijetivo contínuo, H^* herda a completude com a norma acima. Logo (H^*,lang<=cdot,cdotrang<=H^*) é um espaço de Hilbert.

Passo 5

Para a reflexividade, considere a inclusão canônica
J: Hto H^**, J(x)(f)=f(x)
Temos também a aplicação de Riesz em H^*, digamos R^*:H^*to H^**. É fácil ver que
R^*l(R(x)r)=J(x),
ou seja,
J=R^*circ R
Como R e R^* são isomorfismos isométricos, a composição J é isométrica e bijetiva.

Passo 6

Da bijetividade e isometria de J segue-se que Hcong H^** isométrica e linearmente, ou seja, H é reflexivo.

Resposta

a) Em H^* definimos
lang<= f,grang<=H^*=lang<= R^-1g,R^-1frang<=H,
e mostramos que a norma induzida coincide com a norma usual do dual, de modo que H^* é Hilbert.
b) A inclusão canônica J:Hto H^** satisfaz J=R^*circ R como composição de duas aplicações de Riesz, logo é isométrica e bijetiva, mostrando que H é reflexivo.

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