a) Verifique a norma usual do dual de um espaço de Hilbert também provém de produto interno (então o dual de um espaço de Hilbert também é um espaço de Hilbert). Sugestão: Defina
, sendo
a aplicação de Riesz.
b) Prove que todo espaço de Hilbert é refexivo. Sugestão: Mostre que a inclusão canônica é a compostas das aplicações de Riesz.
b) Prove que todo espaço de Hilbert é refexivo. Sugestão: Mostre que a inclusão canônica é a compostas das aplicações de Riesz.
Passo 1
O enunciado trata de um espaço de Hilbert
real (ou complexo) com aplicação de Riesz
e pede:
a) Mostrar que em
existe um produto interno que gera a norma usual do dual, tornando
também um espaço de Hilbert.
b) Provar que
é reflexivo, ou seja, a inclusão canônica
é um isomorfismo isométrico, usando as aplicações de Riesz.
Passo 2
Construímos em
o produto interno
Verificamos que ele é bilinear (ou sesquilinear no caso complexo), simétrico (ou hermitiano) e definido-positivo, pois se
então
e
Passo 3
Mostramos que a norma induzida por este produto interno coincide com a norma operador usual em
. De fato, para
temos
pela caracterização do operador de Riesz. Mas pelo produto em bloco
logo normais coincidem.
Passo 4
Como
é completo e
é um isomorfismo bijetivo contínuo,
herda a completude com a norma acima. Logo
é um espaço de Hilbert.
Passo 5
Para a reflexividade, considere a inclusão canônica
Temos também a aplicação de Riesz em
, digamos
. É fácil ver que
ou seja,
Como
e
são isomorfismos isométricos, a composição
é isométrica e bijetiva.
Passo 6
Da bijetividade e isometria de
segue-se que
isométrica e linearmente, ou seja,
é reflexivo.
Resposta
a) Em
definimos
e mostramos que a norma induzida coincide com a norma usual do dual, de modo que
é Hilbert.
b) A inclusão canônica satisfaz
como composição de duas aplicações de Riesz, logo é isométrica e bijetiva, mostrando que
é reflexivo.
b) A inclusão canônica