(a) Sabendo que u1=(1,0,0,0,2) e u2=(1,0,2,0,0) são vectores próprios de A, determine todos os valores próprios de A.
(b) Diga, justificando, se a matriz A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique uma matriz diagonal semelhante a A e uma matriz de mudança de base correspondente.
(c) Quais os valores próprios de A^4 ? (Sugestão: Não calcule A^4 )
são vectores próprios de A. Pergunta (a) pede todos os valores próprios de A, (b) se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma matriz diagonal semelhante e a mudança de base, e (c) os valores próprios de A^4. Para resolver vamos usar a definição de valor próprio Av=lambda v, as fórmulas tr(A)=sumlambdai e det(A)=prodlambdai, e depois verificar as dimensões dos espaços próprios para concluir a diagonalizabilidade.
Há um terceiro eigenvetor evidente: a 4ª coluna de A é (0,0,0,3,0), portanto
A,(0,0,0,1,0)=(0,0,0,3,0)=3,(0,0,0,1,0),
mostrando que e4 é também próprio de valor lambda=3. Assim já temos três vectores independentes para lambda=3.
Passo 4
Use-se agora que tr(A)=1+4+5+3+1=14=sumi=1^5lambdai
e que det(A)=162
(pode calcular-se desenvolvendo em torno da coluna 4). Como já identificámos três valores próprios iguais a 3, chamemos aos outros dois mu e nu. Então
Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0. A solução (única até escala) é
x=(1,1,2,-1,-2),
logo este é um vectore próprio de A associado ao valor próprio 2.
Passo 6
Para concluir a diagonalizabilidade, basta ver que o espaço próprio de tem dimensão . De fato, a equação dá apenas uma condição linear independente em , gerando espaço de dimensão . Um conjunto de quatro vectores independentes é
todos com valor próprio . Somando o vectore próprio de , obtemos cinco vectores linearmente independentes próprios. Portanto é diagonalizável.
Uma matriz diagonal semelhante é
e uma matriz de mudança de base pode ser, por exemplo, cujas colunas são
Então .
Passo 7
Para A^4, usa-se que os valores próprios se elevam à quarta potência. Logo os valores próprios de A^4 são
3^4=81(mu< 4), 2^4=16(mu< 1)
Resposta
(a) Os valores próprios de A são 3 (multiplicidade algébrica 4) e 2 (multiplicidade algébrica 1).
(b) A é diagonalizável. Uma matriz diagonal semelhante é
D=diag(3,3,3,3,2),
e uma escolha de P com colunas formadas pelos vectores próprios acima satisfaz P^-1AP=D.
(c) Os valores próprios de A^4 são 81 (mult.4) e 16 (mult.1).