Seja
A=[ccccc 1 & 1 & 1 & 0 & 1 -2 & 4 & 1 & 0 & 1 -4 & 2 & 5 & 0 & 2 2 & -1 & -1 & 3 & -1 4 & -2 & -2 & 0 & 1 ]
(a) Sabendo que u1=(1,0,0,0,2) e u2=(1,0,2,0,0) são vectores próprios de A, determine todos os valores próprios de A.
(b) Diga, justificando, se a matriz A é diagonalizável e, em caso afirmativo, indique uma matriz diagonal semelhante a A e uma matriz de mudança de base correspondente.
(c) Quais os valores próprios de A^4 ? (Sugestão: Não calcule A^4 )

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 1 & 1 & 0 & 1 -2 & 4 & 1 & 0 & 1 -4 & 2 & 5 & 0 & 2 2 & -1 & -1 & 3 & -1 4 & -2 & -2 & 0 & 1 ,
e diz que
u1=(1,0,0,0,2), u2=(1,0,2,0,0)
são vectores próprios de A. Pergunta (a) pede todos os valores próprios de A, (b) se A é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir uma matriz diagonal semelhante e a mudança de base, e (c) os valores próprios de A^4. Para resolver vamos usar a definição de valor próprio Av=lambda v, as fórmulas tr(A)=sumlambdai e det(A)=prodlambdai, e depois verificar as dimensões dos espaços próprios para concluir a diagonalizabilidade.

Passo 2

Aplicamos A a u1 e u2.
A,u1=A,(1,0,0,0,2) =col1+2,col5 =(1,-2,-4,2,4)+2,(1,1,2,-1,1) =(3,0,0,0,6) =3,(1,0,0,0,2),
portanto lambda=3 é valor próprio associado a u1. De modo análogo
A,u2 =col1+2,col3 =(1,-2,-4,2,4)+2,(1,1,5,-1,-2) =(3,0,6,0,0) =3,(1,0,2,0,0),
logo lambda=3 também para u2.

Passo 3

Há um terceiro eigenvetor evidente: a 4ª coluna de A é (0,0,0,3,0), portanto
A,(0,0,0,1,0)=(0,0,0,3,0)=3,(0,0,0,1,0),
mostrando que e4 é também próprio de valor lambda=3. Assim já temos três vectores independentes para lambda=3.

Passo 4

Use-se agora que
tr(A)=1+4+5+3+1=14=sumi=1^5lambdai
e que
det(A)=162
(pode calcular-se desenvolvendo em torno da coluna 4). Como já identificámos três valores próprios iguais a 3, chamemos aos outros dois mu e nu. Então
3+3+3+mu+nu=14Longrightarrowmu+nu=5,
e
3cdot3cdot3cdotmucdotnu=det(A)=162 Longrightarrow27,(munu)=162 Longrightarrowmunu=6
Os números que somam 5 e cujo produto é 6 são 2 e 3. Logo os valores próprios de A são
lambda=3(mu<iplicidade algébrica 4), lambda=2(mu<iplicidade algébrica 1) éé

Passo 5

Para lambda=2 resolvemos (A-2I)x=0. A solução (única até escala) é
x=(1,1,2,-1,-2),
logo este é um vectore próprio de A associado ao valor próprio 2.

Passo 6

Para concluir a diagonalizabilidade, basta ver que o espaço próprio de tem dimensão . De fato, a equação dá apenas uma condição linear independente em , gerando espaço de dimensão . Um conjunto de quatro vectores independentes é
todos com valor próprio . Somando o vectore próprio de , obtemos cinco vectores linearmente independentes próprios. Portanto é diagonalizável.
Uma matriz diagonal semelhante é
e uma matriz de mudança de base pode ser, por exemplo, cujas colunas são
Então .

Passo 7

Para A^4, usa-se que os valores próprios se elevam à quarta potência. Logo os valores próprios de A^4 são
3^4=81(mu< 4), 2^4=16(mu< 1)

Resposta

(a) Os valores próprios de A são 3 (multiplicidade algébrica 4) e 2 (multiplicidade algébrica 1).
(b) A é diagonalizável. Uma matriz diagonal semelhante é
D=diag(3,3,3,3,2),
e uma escolha de P com colunas formadas pelos vectores próprios acima satisfaz P^-1AP=D.
(c) Os valores próprios de A^4 são 81 (mult. 4) e 16 (mult. 1).

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