Mostre que qualquer função dada por
satisfaz a equação de Laplace em três dimensões
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a função
satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, que é dada por:
Para resolver isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de
em relação a
,
e
, e depois somá-las para ver se o resultado é zero.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
em relação a
. Lembre-se que ao derivar em relação a
, tratamos
e
como constantes.
A função
é:
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
. Isso significa derivar novamente a expressão que acabamos de obter.
Derivando
em relação a
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos fazer o mesmo procedimento para derivar em relação a
. Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
E a segunda derivada:
Ou seja:
Passo 5
Agora, vamos derivar em relação a
. Primeiro, a primeira derivada de
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
E a segunda derivada:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos somar as três segundas derivadas que calculamos:
Distribuindo:
Percebemos que os termos se cancelam:
Resposta
Concluímos que
, ou seja, a função
satisfaz a equação de Laplace em três dimensões.