Mostre que qualquer função dada por w=(sin a x)(cos b y) e^-raiza^2+b^2 z satisfaz a equação de Laplace em três dimensões partial^2 wpartial x^2+partial^2 wpartial y^2+partial^2 wpartial z^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrarmos que a função partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 + partial^2 wpartial z^2 = 0 satisfaz a equação de Laplace em três dimensões, que é dada por:
Para resolver isso, precisamos calcular as segundas derivadas parciais de em relação a , e , e depois somá-las para ver se o resultado é zero.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de w = (sin a x)(cos b y) e^-raiza^2+b^2 z em relação a partial wpartial x = a cos a x cdot (cos b y) e^-raiza^2+b^2 z . Lembre-se que ao derivar em relação a , tratamos e como constantes.
A função é:
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de partial^2 wpartial x^2 = -a^2 sin a x cdot (cos b y) e^-raiza^2+b^2 z em relação a partial^2 wpartial x^2 = -a^2 w . Isso significa derivar novamente a expressão que acabamos de obter.
Derivando em relação a :
Então, temos:

Passo 4

Vamos fazer o mesmo procedimento para derivar em relação a partial wpartial y = -b sin a x cdot sin b y cdot e^-raiza^2+b^2 z . Primeiro, a primeira derivada de partial^2 wpartial y^2 = -b^2 sin a x cdot cos b y cdot e^-raiza^2+b^2 z em relação a partial^2 wpartial y^2 = -b^2 w :
Derivando em relação a :
E a segunda derivada:
Ou seja:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a partial wpartial z = -raiza^2+b^2 cdot (sin a x)(cos b y) e^-raiza^2+b^2 z . Primeiro, a primeira derivada de partial^2 wpartial z^2 = (raiza^2+b^2)^2 cdot (sin a x)(cos b y) e^-raiza^2+b^2 z em relação a partial^2 wpartial z^2 = (a^2 + b^2) w :
Derivando em relação a :
E a segunda derivada:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos somar as três segundas derivadas que calculamos:
partial^2 wpartial x^2 + partial^2 wpartial y^2 + partial^2 wpartial z^2 = (-a^2 w) + (-b^2 w) + (a^2 + b^2) w
Distribuindo:
= -a^2 w - b^2 w + a^2 w + b^2 w
Percebemos que os termos se cancelam:
= 0

Resposta

Concluímos que , ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace em três dimensões.

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