Questão 5
Use a aproximeção linear da função f(x, y)=10 x^1 / 4 y^3 / 4 no ponto (100,125) para obter uma aproximação de f(998,128).

Passo 1

A questão pede para estimar o valor de f(998,128) usando a aproximação linear de f(x,y)=10 x^{1/4} y^{3/4} ao redor do ponto (100,125). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula de aproximação linear de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de f. Temos
fx(x,y)=10cdot14x^-3/4y^3/4=104x^-3/4y^3/4,
fy(x,y)=10cdot34x^1/4y^-1/4=304x^1/4y^-1/4

Passo 3

Agora avaliamos f, f_x e f_y em (100,125). Primeiro
f(100,125)=10cdot100^1/4cdot125^3/4=10cdotraiz10cdot25cdot5^1/4approx1182.33
Para as derivadas:
fx(100,125)=104125^3/4100^3/4=2.5(125100)^3/4approx2.9558,
fy(100,125)=304100^1/4125^1/4=7.5(100125)^1/4approx7.0944

Passo 4

Definimos os incrementos e a fórmula da aproximação linear. Seja De e De. A aproximação linear diz:
f(998,128)approx f(100,125)+fx(100,125),De

Passo 5

Substituindo os valores numéricos:
f(998,128)approx1182.33+2.9558cdot898+7.0944cdot3approx1182.33+2653.59+21.28approx3857.20

Resposta

f(998,128)\approx3857.20

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