Se u=v sec r t, ache un r=partialpartial r(partialpartial v(partial upartial r)). (Lembre que d sec xd x=sec x tan x e d tan xd x=sec ^2 x ).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a função u = vsec(rt) e queremos o derivado misto unr = partialpartial rl(partialpartial v(ur)r). O conteúdo envolve derivadas parciais e regra da cadeia.

Passo 2

Para começar, vamos achar partial upartial r. Como v e t são tratados como constantes, usamos a regra da cadeia e que dsec xdx = sec xtan x. Então
ur = partial upartial r = vcdot ddr(sec(rt)) = vsec(rt)tan(rt)cdot t

Passo 3

Agora, calcule partialpartial v(ur). Aqui t e r são constantes, então
uvr = partialpartial vl(vtsec(rt)tan(rt)r) = tsec(rt)tan(rt)

Passo 4

Finalmente, derivamos partialpartial r(uvr). Usamos a regra da cadeia e lembramos que
ddx[sec xtan x] = sec xtan^2 x + sec^3 x
(pois dtan xdx=sec^2 x). Logo:
unr = partialpartial rl(tsec(rt)tan(rt)r) = tcdot ddr(sec(rt)tan(rt)) = tl(sec(rt)tan^2(rt) + sec^3(rt)r)cdot t = t^2l(sec(rt)tan^2(rt) + sec^3(rt)r)

Resposta

unr = t^2l(sec(rt)tan^2(rt) + sec^3(rt)r)

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