Use a aproximeção linear da função f(x, y)=x^4+2 x^2 y^2+x y^4+10 y no ponto (10,1) para obter uma aproximação de f(10.36,1.04).

Passo 1

A questão pede pra gente usar a aproximação linear (reta tangente ou plano tangente) da função de duas variáveis f(x,y)=x^4+2x^2y^2+xy^4+10y no ponto (10,1) para estimar o valor de f(10.36,1.04). O conteúdo envolve derivadas parciais e a fórmula da linearização.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como obter as derivadas parciais de f. A teoria diz que a aproximação linear vem do plano tangente, e para isso precisamos de fx e fy. Calculamos:
fx(x,y)=partialpartial xl(x^4+2x^2y^2+xy^4+10yr)=4x^3+4x,y^2+y^4
fy(x,y)=partialpartial yl(x^4+2x^2y^2+xy^4+10yr)=4x^2,y+4x,y^3+10

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas e a própria função no ponto (a,b)=(10,1). Primeiro f(10,1):
f(10,1)=10^4+2cdot10^2cdot1^2+10cdot1^4+10cdot1=10000+200+10+10=10220

Passo 4

Em seguida,
fx(10,1)=4cdot10^3+4cdot10cdot1^2+1^4=4000+40+1=4041
fy(10,1)=4cdot10^2cdot1+4cdot10cdot1^3+10=400+40+10=450

Passo 5

A fórmula da aproximação linear (plano tangente) é:
L(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)

Passo 6

Aqui a=10, b=1, e queremos x=10.36 (logo x-a=0.36) e y=1.04 (logo y-b=0.04). Substituindo:
L(10.36,1.04)=10220+4041cdot0.36+450cdot0.04

Passo 7

Basta calcular numericamente:
4041times0.36=1454.76e450times0.04=18

Passo 8

Logo
L(10.36,1.04)=10220+1454.76+18=11692.76

Resposta

Aproximadamente f(10.36,1.04)approx11692.76.

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