- Mostre que, para qualquer matriz quadrada
, temos:
onde
é a matriz identidade da mesma ordem.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz quadrada
de ordem
, a matriz identidade
de mesma ordem é elemento neutro na multiplicação, ou seja,\r
Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e a forma dos elementos da matriz identidade.
Passo 2
Definimos a matriz identidade
\r
E sabemos que, para duas matrizes
de ordem
, o produto
satisfaz\r
Passo 3
Vamos calcular o elemento genérico de
. Seja
. Pelas regras de multiplicação,\r
Mas
para
e
. Logo, na soma só sobrevive o termo
, e\r
Como isso vale para todo
, concluímos que\r
Passo 4
De modo análogo, para
temos\r
Aqui
para
e
, de modo que apenas o termo
contribui, dando\r
Portanto\r
Resposta
Como mostramos que
e
, concluímos\r
ou seja,
é de fato o elemento neutro da multiplicação de matrizes.