• Mostre que, para qualquer matriz quadrada A, temos:
A \cdot I=I \cdot A=A
onde I é a matriz identidade da mesma ordem.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para qualquer matriz quadrada A de ordem n, a matriz identidade I de mesma ordem é elemento neutro na multiplicação, ou seja,\r
A \cdot I = I \cdot A = A.\r
Para isso, vamos usar a definição de multiplicação de matrizes e a forma dos elementos da matriz identidade.

Passo 2

Definimos a matriz identidade I=(I_{ij})\) de ordem \(n\) por\r \[I_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se }i=j,\\\\ 0, & \text{se }i\neq j. \end{cases}\r
E sabemos que, para duas matrizes B=(B_{ij})\] e \(C=(C_{ij}) de ordem n, o produto D = B\,C satisfaz\r
D_{ij} = \sum_{k=1}^{n} B_{ik}\,C_{kj}.

Passo 3

Vamos calcular o elemento genérico de A\cdot I. Seja (A\cdot I)_{ij}. Pelas regras de multiplicação,\r
(A\cdot I)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik}\,I_{kj}.\r
Mas I_{kj} = 0 para k\neq j e I_{jj}=1. Logo, na soma só sobrevive o termo k=j, e\r
(A\cdot I)_{ij} = A_{ij}\cdot I_{jj} = A_{ij}\cdot 1 = A_{ij}.\r
Como isso vale para todo i,j, concluímos que\r
A\cdot I = A.

Passo 4

De modo análogo, para I\cdot A temos\r
(I\cdot A)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} I_{ik}\,A_{kj}.\r
Aqui I_{ik}=0 para i\neq k e I_{ii}=1, de modo que apenas o termo k=i contribui, dando\r
(I\cdot A)_{ij} = I_{ii}\,A_{ij} = 1\cdot A_{ij} = A_{ij}.\r
Portanto\r
I\cdot A = A.

Resposta

Como mostramos que \,A\cdot I = A e \,I\cdot A = A, concluímos\r
A \cdot I = I \cdot A = A,\r
ou seja, I é de fato o elemento neutro da multiplicação de matrizes.

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